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埃舍尔的画与费马大定理 精选

已有 5964 次阅读 2017-7-6 09:10 |个人分类:数学|系统分类:科普集锦

曾收到Amazon的小广告,推荐《无言的宇宙:隐藏在24个数学公式背后的故事》,像是用方程说宇宙。原题为The Universe in Zero Words: the Story of Mathematics As Told Through Equationsby Dana Mackenzie, Princeton University Press, 2012,才知道是讲数学的,当然也包括物理学的数学(如Maxwell方程)。

随便浏览了一下,感兴趣的是Fermat定理的一小节——其实是因为看见了Escher的画。作者借了《水与天空》(Sky and Water)来说明背景的颠倒。德国数学家Gerhard Frey发现假如Fermat方程有解,就与谷山-志村(Taniyama-Shimura)猜想矛盾;后来,美国的Kenneth Ribet证明,Frey的发现是对的,假如TS猜想正确,那么Fermat“大定理”(FLT)也成立。

Frey巧妙地将Fermat的变量转换为方程的系数。假如F方程有解,则可以构造一条“非模的椭圆曲线”,而TS猜想说“所有椭圆曲线都是模的”(标准说法All rational elliptic curves arise from modular forms.)于是FLTTS发生了联系,正因为这个联系,才引导后来用模形式(在变换群下具有不变性的解析函数)来证明FLT。这儿最主要的是问题的转换,犹如Escher在那幅画中的前景与背景的反转——尽管这种转换只是将难题换了一种表达方式。FreyRibet说:想登珠峰吗?很简单,长翅膀呀。他们就是把爬山转换为长翅膀。

与此类似而更简单的一个例子是Galois代数方程的可解性转换到群论。







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