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虚数 —— 一种“并不存在的数”
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一个数，它的平方为负数，这就是虚数。
在英语中，虚数是“imaginary number”，字面意思是“假想的数”或“虚构的数”。
平方等于-1的虚数sqrt{-1}有一个专门符号“i”。
虚数产生于16世纪。当时面临的情况是，如果没有这种“古怪的数”，数学就不会继续发展。
在支配微观世界的“量子力学”（量子论）的基本方程中就包含有虚数i。
虚数尽管同现实世界没有关系，但是，有了虚数，我们就能理解甚至一个电子的行为。
卡尔达诺问题
16世纪意大利数学家杰罗拉莫•卡尔达诺出版了一本书名叫做《大术》
（又译《数学大典》）的数学书，其中有这样一道数学题：
devide 10 in duas partes, ex quarum unius in reliquam ducto, produatur 40
“有两个数，它们相加之和等于10，相乘之积等于40。这是两个什么数？”
设待求的两个数为A和B，写成数学式，就是要求它们必须同时满足条件
A ＋ B = 10
A × B = 40
考虑四边形的面积
有一个边长为5的正方形，面积为25。
如果能够找到一个其周长等于这个正方形的周长，但是面积等于40的长方形的话，
那么，那个正方形的纵边长度和横边长度就是卡尔达诺问题的答案。
不过，在周长相等的长方形中，面积最大的就是正方形。
例如，纵边为7，横边为3的长方形，面积等于21；
纵边为2，横边为8的长方形，面积等于16，都小于25。
由此可见，“不存在纵边长度与横边长度之和为10而面积超过25的长方形”。
我们再来考虑“比5大x的数”和“比5小x的数”这两个数，写出来就是 5+x 和 5-x。
利用中学所学的公式（a+b)(a-b) = a^2 - b^2
这两个数的乘积是 (5+x)(5-x) = 25 - x^2
这里x^2必定是一个正数。
因为无论x是正数还是负数，正数的平方恒为正数，负数的平方也恒为正数。
由此可见，25-x^2必定是小于25的数。那么无论x选择什么数，都不可能得到40。
然而，出乎意料的是，在卡尔达诺所写的那本《大术》中却记载有这个问题的具体解。
也就是说，出现了“平方为负数的数”，即“虚数”。
正是在《大术》这本书中，最早提出虚数的概念，使得原来没有答案的问题也有了答案。
扩展阅读
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