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此情可待成追忆——五猴分桃问题 精选

已有 7291 次阅读 2014-11-11 10:31 |个人分类:随笔|系统分类:生活其它|关键词:人生,朋友,锦瑟,热泪,梦,五猴分桃| 人生, 朋友, 锦瑟, 热泪, 五猴分桃

李商隐《锦瑟》诗“锦瑟无端五十弦,一弦一柱思华年。庄生晓梦迷蝴蝶,望帝春心托杜鹃。沧海月明珠有泪,蓝田日暖玉生烟。此情可待成追忆,只是当时已惘然”素称难解,也就无限可解;而科学网多篇博文说明“玉生烟”的物理背景,别开生面,令人耳目一新。

过去的一年,我经历了前所未有的困惑,多次立于窗前而“闭上热泪遮蔽的眼睛”,想起这首诗而体会“半辈子/梦、心、泪、热/早已知道”。这是金克木先生分三段写出的、启功先生“剥去(该诗)所有的装饰”所剩下的字词。

上个月回母校参加“毕业三十年聚会”。大家多说起没有联系上的同学,更会想起那些永远也不能找回的同学。天地万物之逆旅,光阴百代之过客。流逝时光中的印迹终会渐渐消失感谢科学网博客,我们能够留下更多的印迹,而印迹又能够更慢地消失。

下面贴出2002年元旦后给父母信件中的部分内容(新添部分用红色楷体标出),以纪念容貌永远停留在20岁的朋友黄新。他是我哥哥的同学,但我们也能称上朋友。19789月大家一起乘船6小时到县城参加体检——他和哥哥考大学,我考初中中专(后经学校劝说放弃师范而继续读高中),黄新给我讲了Schwartz 定理:三角形内边长最短的内接三角形。在那个暑假,我仔细读了《3S 几何》和《范氏大代数》,因而可以与高中毕业生谈论数学。 

元旦虽然仅该放假一天,可通过调课竟连续休息五天。不过,对我们上课的教师,或多或少造成一些混乱。

昨天(2002年元月3日)姑娘问我一道级数题:

     a+1 = a+ Q   P ≠ 1≠ 0

这是等比级数和等差级数的混合,可以变化为单一的等比级数:

          a+1 + m =P (anm)    m=Q/(P – 1)

{am}是以P为公比的等比级数。

讲完题目后我突然想起“五猴分桃”。那是1978年暑假之间的事情。题目的来源现在已经不能说清。只记得爸爸、哥哥、我,还有黄新,好几个人都在想这个题目。黄新密密麻麻地写了两张纸,特地送来——写出五个不定方程求解。那时我就是姑娘现在这个年龄,刚刚初中毕业;而哥哥和黄新当年分别考取南京师范学院和南京工学院,后者是重点大学令人痛惜的是,黄新在大学四年级时因病过世。记得1982年暑假的一天晚上,在街上遇到黄新的父亲——在故乡中学讲授政治。黄老师问一句大学放假啦,我应一声刚回来,两人也就不说话,默默地、慢慢地向前走;等黄老师进家,我再往回走。其情其景,恍如昨日;只是那些房子、街道早已拆去,不再是旧时模样。

今天,我把这个题目和求解过程仔细写下来,作为对当时大家拼命学习的纪念。英年早逝的黄新想已重生乐土,学业有成。现在尽管大家仍很努力地学习,但学习的快乐似乎难以见到了。为此,我自作主张,在题目的最后增加一句:次日清晨,5猴醒来,见桃子仍是一堆,且正好均分,欢天喜地。

……………… 

五猴分桃问题

花果山上五猴,一日采摘桃子若干。因天色已晚,相约明日再分。一猴夜不能寐,起来先尝一桃,再自行将桃分为5份,恰巧均分,并无余数(下同),取走1份。其后又有一猴夜不能寐,也来先尝一桃,然后将桃分为5份,取走1份。5猴都如是行之。次日清晨,5猴醒来,见桃子仍是一堆,且正好均分,欢天喜地。问五猴至少采摘桃子多少才能如此进行。

解:设五猴采摘的桃子总数为a0,第猴取后剩余的桃子数为an . 依题意,有 

an + 1 = (a– 1)·4/5

an +1 + 4 = (a+ 4)·4/5

a+ 4 } 是一个以 4/5 为公比的等比级数。于是有

 a= (a+ 4)·(4/5)n

= 1, 2, 3, 4, 5. 五猴夜里的自行分配能够顺利进行,需要

a+ 4 K·55

为正整数。猴清晨醒来所见到的桃子总数是

aK·4– 4

依题意,该数应为 的倍数;而K = 1 时,

a= 4(4– 1)= 4·17·15

恰好是的倍数。因此五猴采摘桃子最少数是

 a0= 5– 4 = 3121

我不知小学奥数会不会有这样的题目。如果要给小学六年级同学讲解,大约可以说“总是多一个桃子,也就是差4个就能除尽5啦。因而,借 4个桃子给猴子们,那么五次就都能分尽。因而总数是5×5×5×5×5 就行,当然得再减去4。



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