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说到无穷,哪能想当然呢

已有 4297 次阅读 2014-11-8 16:17 |个人分类:教学|系统分类:科普集锦|关键词:无穷,集合,多少,数| 集合, 无穷, 多少, 整数, 分数

博文“谈蝉说生死”提及周作人《看云集》。“看云”二字来自唐·王维(701~761)诗句“行到水穷处,坐看云起时”。读诗之后又回味了30多年前学习“无穷”时的惊奇,因而略述几句,以为纪念。

1   自然数1、2、3、4、5、6 …… 一一数下去,没有穷尽。2、4、6、8、10 …… 是偶数,其余是奇数,当然都是无穷的。又,0 是印度人发明的,并不能算作自然数。

自然数乘以2 就是偶数,因而每一个自然数都能找到一个偶数与之对应,即自然数不会比偶数“更多”;当然偶数也不会比自然“更多”。就“无穷多”而言,偶数与自然数级别相等,称为“可列集”。集或集合就是具有某一性质东西(雅称元素)的全体。

有限个乃至可列个可列集的总合,其元素也是可列。可列集 A1A2A3A4 …… 

A={a11a12a13a14a15,…… }

A={a21a22a23a24a25,…… }

A={a31a32a33a34a35,…… }

A={a41a42a43a44a45,…… }

………………………………

所有元素可按下标之和逐步列出

A={a11a12a21a13a22a31a14a23a32a41a15a24a33,…… }

集合An的第元素anm 列于第(n + m -1) (n + m -2)/2+m

有理数是自然之比值。若记anm= n/m,则每一个正有理数对应于无限个anm,而后者可列,有理数的全体当然也是可列的。需要知道,有理数之平均值还是有理数,因而任意两个有理数之间有无穷个有理数;而全部有理数竟可以按顺序一一排列出来,竟与自然数同等“(无穷)多”。这是何等地令人惊奇啊。

2   古希腊的毕达哥拉斯(约前580-前500)发现直角三角形两直角边平方之和等于斜边之平方,即勾股定理。直角边为31时,斜边平方为10。以反证法说明该斜边不是有理数。

若斜边是有理数,则有 (n/m)^2=10,当然,自然数nm不能都是10 的倍数,不然就先进行约简。于是,n^2=10 m^2得是10 的倍数,=10 k;也就有10 k^2=m^2。这必然要求m也是10 的倍数,与前述条件不符。顺便说一句,毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现,任何有理数的平方都不可能等于2;该认识不能得到老师的认可,又因将此传到学派之外而被判罪溺死。其时中国的孔子大约已经五十而知天命啦。

有理数并不是数的全部。我们要问,所有的数能与自然数对应而可列吗?不能!仍反证法说明。0~1之间的数可以小数表示,假设其可列

B=0. b11b12b13b14b15……

B=0. b21b22b23b24b25……

B=0. b31b32b33b34b35……

B=0. b41b42b43b44b45……

……………………………

bnn  5bn=5,若bnn=5bn=4则小数B=0. b1b2b3b4b5…… 不在上述排列之中,因而原假设不能成立。0~1之间的数为不可列,其比有理数要“无穷得多”。

3   为叙说便利,将≤ b的数x全体记为闭集 [ab];而不包含端点则记为开集 (ab)。基于一一对应的观点,y=3x知道[0, 1][0, 3] 的数或点具有相同数量;由y=tan(180 -90) º知道[0, 1]与所有数或整个数轴上点具有相同数量。局部并不少于全体!

若建立直角坐标系,边长1的正方形内点可用一对小数表示。

X=0. xxxxx

Y=0. yyyyy……

其与小数=0.x1y1xy2x3yx4yx5y……对应,即平面内每一个点(XY)都有不重复的[0, 1] 数C其对应;因而正方形内点不会多于线段[0, 1]内的点,至于少当然也是不会的!很容易说明,线段[0, 1]内的点与整个平面、整个空间的点具有相同的“无穷多”

4   在介绍“最惊奇”的无穷之前,先简单说一下数的进制。时间之外,我们用十进制,逢十进位:34表示3个十4个1;而0.54则表示5个“十分之一”、4 个“十分‘十分之一’”。计算机以线路之通、断表示0、1,采用二进制。十进制的9写成二进制就是 1001;小数也可换成二进制,十进制0.25和0.75 写成二进制就是0.01和0.11。三进制则用0、1、2来表示数,并不用符号3。

将数集[0, 1] 挖掉中间三分之一,用三进制表示时所余两段是[0, 0.1[0.2, 1]。方括号表明包含端点,而新增端点标为红色。再挖掉这两段中间三分之一,则所余为[0, 0.01[0.02, 0.1] [0.2, 0.21[0.22, 1];第三次挖后是[0, 0.001[0.002, 0.01][0.02, 0.021[0.022, 0.1]以及[0.2, 0.201[0.202, 0.21][0.22, 0.221[0.222, 1];依次挖除不止。显然,端点不会因挖除消失。最终整个[0, 1]被挖掉,留下称为康托尔尘集(1883)的无穷多个点

对上述红色数字作“1改为0,2改为1”的变换,得 0.0,0.1;0.00,0.01,0.10,0.110.000,0.001,0.010,0.011,0.100,0.101,0.110,0.111;……。每组数字分别是1位、2位、3位……的二进制小数全体。这就是说,[0, 1]中每一个二进制数都在康托尔尘集中找到无穷多个对应点因而点数不多于康托尔尘集,当然后者也不会更多

总长为零的康托尔尘集与[0, 1]数集、整个平面、整个空间的点具有相同的“无穷多”;而尽管任意两个有理数之间有无穷个有理数,全部有理数却只是与自然数同等“(无穷)多”。说到无穷,真是不能想当然啊。


附录:

20年前用扑克牌算24。偶尔遇见些有趣的算例:如(13*7 + 5) / 4  (13*11 + 1) / 6 等。也曾主动作些研究,如7 * (3 + 3 / 7 )   8 / (3 – 8 / 3 )  可是在梦里想出来的啊。引入分数而在有理数范围内计算,思路开阔也就“生存空间”增加!自那以后就将“这算不出来”改口为“我算不出来”。文史研究“说有易,说无难”,真是这样呢。 

意大利人L. Fibonacci (1170 – 1250)以兔子繁殖为例引入数列:

兔子月初出生,两个月整后即可每月生育一对

其前十个及第2030个的月底数是:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …, 6765, …, 832040, …

该数列可定义为:F(0)=0F(1)=1, F(n+2)=F(n+1)+F(n)

方程 q2=q+1的根q1=(1+sqrt(5))/2  q2=(1–sqrt(5))/2

数列可表示为 F(n) =(q1nq2n)/sqrt(5)abs(q2)<1可不予考虑,

F(n近似于公比q1=1.6180 的等比级数,倍增时间1.44月。

为表示整数列竟引入无理数sqrt(5),得在实数范围内计算才行。

 

假设老鼠生育三胎后月底前死亡。前十个月及第2030个的月底数是:

1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, …, 1278, …, 58425, …

满足 S(n+3) =S(n+2) +S(n)

老鼠有初生及1~3月四龄,在n+2月底的数量分别为s0s1s2s3

s3 n+3月生育后死亡,对总量增加没有贡献;而s0 尚不能生育。

S(n+3) S(n+2)的增加量是s1+s2

s1 就是n+1月的初生鼠;而s2n+1月的1龄鼠、n月的初生鼠。

n+1月初生鼠数量s1 就是n1~3龄鼠数量,与n月的初生鼠数量即s2 之和等于n月总量S(n)

特征方程 q3=q2+1;记q = r +1/3r3– r/3– 29/27=0

拆分r= x+yx3y3= [29/27±sqrt(31/27)]/2

实数三次方根为X=1.02370Y=0.10854…。记ω=(–1+i*sqrt(3))/2

q1= X+Y+1/3 =1.46557…,q2= Xω+Yω2+1/3q3= Xω2+Yω+1/3

S(n) = aq1n+bq2n+cq3n满足递推关系,S(0)=1, S(1)=1, S(2)=1 确定a=0.61149…

q2q3为共轭复根,由维达定理知模长为sqrt(1/q1)=0.82603< 1;

S(n近似为公比q1= 1.46557 的等比级数,倍增时间1.81月。

计算表明,S(n就是 aq1n 的整数取值。

(本段内容摘自笔者未完成的文章,相关分析计算为自己所做)

为确定整数列的通项公式竟引入虚数i,需在复数范围内计算才行。 

解决问题可能需要在高于问题的层次上进行;陷入困境也得登高望远才能寻找出路。



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