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鸡蛋的直立及潜体的平衡 精选

已有 9944 次阅读 2014-9-27 19:58 |个人分类:力学科普|系统分类:科普集锦|关键词:鸡蛋直立,刚体,潜体,稳定平衡,势能| 势能, 刚体, 稳定平衡, 鸡蛋直立, 潜体

蛋壳没有显著的接触变形,难以在坚硬平面上直立;但依赖两三个细小盐粒的辅助支承即可实现大端直立。潜体在重力、浮力和支承力作用下处于稳定平衡时势能达到极小值

 

鸡蛋的直立及潜体的平衡

尤 明 庆

(河南理工大学 能源科学与工程学院,河南 焦作 454010)

1   竖鸡蛋

某些地方风俗因电视和网络推动在国内得到了普及,如立春或春分竖蛋就有许多文章、照片和视频。竖蛋牵涉到刚体的稳定问题,文[1]特别予以介绍,称“实际的鸡蛋壳表面并不光滑,粗糙的尖端存在许多突起的小点与桌面接触,这些接触点围成一个很小的区域鸡蛋的重力只要不越出这个小区域就能直立不倒”,与Wikipedia所述类似[2]

不过,肉眼或小倍放大镜下看,蛋壳表面并无突起;而单凭“足够耐心”也不足以直鸡蛋,至少还需手指极端敏感。这些只要亲手一试,就能知道。网上有小学生的相关作文,都是没有成功[3, 4];笔者和家人也曾多次尝试,未能成功。

刚体以表面一点稳定支承的条件是,支承点处法线通过质心,而曲率半径大于质心高度;或称质心高度、质心与支承点距离达到极小值[5]。考虑轴对称性,鸡蛋有4个平衡位置;其中对称轴两端点不稳定的。蛋壳具有一定刚度,不会产生显著的接触变形以增大支承面积。

当然,地面、刀板上微小凹坑或桌布变形,鸡蛋能够以大端直立wikihow 所说“Make a small mound of salt on a hard, smooth, level surfacecarefully balance the egg on top of the salt, then gently blow the excess salt away[6] 也确实可行。试验表明,只要竖直鸡蛋,轻轻前推,受阻即止,尺度不足 0.5 mm 的两三个盐粒即可实现鸡蛋的大端直立作为参考,若鸡蛋大端曲率半径15 mm0.3 0.1 mm的高度所提供的支承距离分别为3 1.7 mm,可以维持鸡蛋的稳定。又,盐粒尺度较小且硬度较高,因接触应力而粘连嵌入蛋壳,并不显眼,从而竖蛋可重复进行,且颇为容易。不过,这无疑是作弊行为。 

鸡蛋大端的气腔因薄膜而大致固定,其体积随储存时间而增加,可以手电或蜡烛等小光源检查(candling)。因而吃蛋时该先敲大端似乎是合理的习惯,《格列佛游记》中小人国就此发生争论乃至战争。气腔使鸡蛋的重心偏离大端,从而更难以在平面上直立。笔者觉得,经水洗、干燥后的鸡蛋,似乎不能直立在干净玻璃、抛光石材或较好木桌的表面上。显然,不稳定的平衡位置难以真实出现。

2 水中竖鸡蛋

好蛋比重大于1,在水中不能浮起,需要容器底面的支撑力才能平衡。鸡蛋的重心与浮心都在对称轴上,但并不重合:浮心比重心更靠近大端。

若以大端支承,鸡蛋稍偏离竖直位置之后,因重心在上,且重力大于浮力,必然继续偏离。显然,以大端支承不是稳定平衡。

以小端支撑,浮心B在上、重心W在下,均高于小端的曲率中小C。记浮心、重心W至小端距离为LB LW,小端曲率半径为r。若支承点P微小扰动偏离,轴线与竖直方向夹角为δ,而法线仍通过曲率中心C(1),则鸡蛋稳定平衡的条件是存在回复力矩:

 等价于浮力与重力的合力作用点距小端距离小于 r试验表明,水对鸡蛋的浮力不能满足公式(2),实际稳定平衡位置如图2所示,轴线与水平面的倾角θ约为30°,小端在下。浮力FB和重力FW关于支承点P力矩平衡,

若鸡蛋从从平衡位置发生微小变动,轴线与水平面的夹角变化dθ;为图面简洁起见,图2 中将水平线转置dθ而保持鸡蛋位置不变。扰动后的支承点处法线同样通过曲率中心C,其在轴线上截距产生dS的改变;而浮力和重力的力臂将同等减小cosθdS。因重力大于浮力,重力矩减少多于浮力矩的减少,引起回复力矩。 

 

依据上述分析可以知道,公式(3) 计算的力矩M随倾角θ增大而减小(逆时针为正)。浮力较大时,力矩M较大,稳定平衡位置的倾角较大;当浮力满足公式(2) 之后,稳定平衡倾角增大到90°,即鸡蛋的小端。

加入食盐可增加水的比重,从而增加浮力,鸡蛋稳定平衡的倾角将增大。鸡蛋没有完全浮起也可以处于竖直状态,大端在上。农村晒酱时以鸡蛋在盐水中的姿态判断其浓度;不过,鸡蛋之间存在差异,其可靠性值得怀疑。

3 潜体的平衡

O 为浮心、重心连线与支承面的交点,记图中距离OW=lWOB=lBlWlB的改变量相同,记为dl。支承面为势能零线,势能    

由于M随倾角θ 增大而减小,上式总是非负。因而力矩平衡的条件就是势能达到极值;稳定平衡就是势能极小值。上述推理过程并不需要轴对称的条件,完全可应用于一般刚体。 

4 结语

鸡蛋大端存在气腔,壳体较硬没有显著的接触变形,因而干净鸡蛋难以在坚硬平面上直立;不过,依赖两三个尺度小于 0.5 mm盐粒的辅助支承即可实现大端直立。

刚体固定于一点,质心在悬挂点下方时稳定平衡,势能最小;刚体位于支承面之上,势能极小时稳定平衡,等价于重心与支承点的距离达到极小值[5]

浮体的浮心高于重心,与刚体悬挂类似;浮心低于重心,浮心曲线相当于刚体的轮廓线,稳心相当于曲率中心,达到稳定平衡时,重力和浮力构成的势能极小或重心与浮心的距离极小[7]。浮心就是支承点。

潜体的稳定平衡条件也是势能达到极小值。 

1  刘延柱. 立春时节话竖蛋[J]. 力学与实践, 2013, 35(1)97-98

2  http://en.wikipedia.org/wiki/Egg_of_Li_Chun

3  http://epaper.cnxz.com.cn/pcwb/html/2011-07/02/content_564813.htm

4  http://www.dysyxx.net/webs/class/default/articleRead.aspx?ID=15870

5  刘延柱. 不倒翁、乌龟翻身和冈布茨[J]. 力学与实践, 2010, 32(2)147-149

6  http://www.wikihow.com/Balance-an-Egg

7  谢建华. 关于浮体的平衡与稳定[J]. 力学与实践, 2010, 32(5)77-80

拙稿11681_O.doc 2013226日投稿《力学与实践》,320日提交修改稿,但最终未能采用。

补记: 2013年9月初得到一批咸蛋,想待其稍稍老化再拍照片,而后修改文章;可惜,1024日之后陷入与勾攀峰先生的争执,直至2014525日方才想起——许多咸蛋已经半空。昨晚 8 时贴出博文,竟不知有此照片,半夜方才想起;而相机失电,晨 6时许方取出照片,添入文后。而博文因编辑 MM 精选,点击已过400;诚可叹也。

 

 

 



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