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事非经过不知难——对祖冲之确定圆周率之揣测 精选

已有 7766 次阅读 2014-3-14 23:22 |个人分类:观点建议|系统分类:论文交流|关键词:圆周率,祖冲之| 祖冲之, 圆周率

今天是314日。到晚上8点钟,也没有见到博文讨论圆周率、纪念祖冲之。不得已,将自己的一篇旧作略作精简贴出来。若有欠妥,需要拍砖,还望高高举起,轻轻放下。 

1   刘徽的割圆术

半径为1的圆,面积为π,周长为。圆内接正n边形边长bn,面积Sn,满足

b2n= sqrt(2 –sqrt(4 – bn))                                     (1) 

S2nnbn/2                                                               (2)

S2n< π < S2n+ (S2n – Sn)                                          (3)

 

利用圆面积而不是周长来表示圆周率,祖冲之已经知道。

估计剩余弓形面积或许是实际计算时的本能反应。

AB弧对应弓形面积小于ΔABD, 而略大于 1/3 的ΔABD面积.

6边形边长b6= 1;迭代式(1)可以得到6×2^k边形边长Ak

A= sqrt(2 – Bk),  式中

B=sqrt(2+sqrt(2+…+ sqrt(2+sqrt3) …)) k –1 个根号sqrt 

    三国魏人刘徽(公元263)利用上式计算至圆内接正96边形边长,再由式(2)(3)

                3. 141023 <π< 3. 142704

π= 3. 14二精确到两位小数。这是从几何方法准确求圆周率的首创。一般认为,南朝祖冲之(429~500)利用割圆术求得圆内接6 × 2^11= 12288边形的边长,从而确定圆周率至

              3. 1415926<π< 3. 1415927

祖冲之所著《缀术》失传,具体计算方法现在已难以知道。

2   割圆术难以提高 π 的精度

    随着 k增大,B接近于2;在计算位数一定时,2 – BAk 的有效位数逐渐减少。以十位数字的计算器Casio fx-4500p计算,在 = 6= 7时,由式(2) , ( 3)

           3. 141556<π< 3. 141660 和 3. 141580<π< 3. 141603

= 6 时有六位有效数字,而k= 7时只剩下五位有效数字,因此利用十位数字计算时最多只能得到π = 3. 141 ... ...,四位准确数字。继续增大k不能提高圆周率的精度。在极端情况k= 16时,Bk = 2Ak = 0。如果直接利用割圆术确定π至小数点后面七位(八位精确数字),则要得到All=0. 000511326922……,共九位有效数字;计算Bll = 1. 99999……需要16~17位数字。古代利用算筹进行手工开方计算,这样的工作是非常困难的。谁若不信,对一个10位数开平方至10位数。

3   祖冲之确定圆周率方法之揣测

祖冲之知道刘徽的工作,想来会增大割圆次数提高π的精度。实际计算之后,他必然会发现,π的精度不会超过边长的有效数字,而有效数字随着边数的增加不断减少;进而研究 π 的精度即(S2n – Sn)的变化情况,以确定割圆次数与计算位数。计算表明,(S2n – Sn)以接近1/ 4的速度减小。计算至= 96= 4,有

                (S192 – S96)= 0. 001681944

               (S96 – S48) = 0. 006721572

两者比值δ96 = 0. 250230749。依据前4个数可以知道,δn单调减小趋于 1/4

边数增加,δ介于1/4~δn,可以对尚未计算的弓形面积作出一个估计,得到

S2n + (S2n – Sn)/3< π < S2n + (S2n – Sn) δn/(1–δn)

= 963.14159276< π< 3. 14159345,以10位数字计算至96边形, 圆周率有6位准确数字。

祖冲之想来会以计算结果和δ=1/4估算弓形面积为(S2n – Sn)/3;于是,以12位数字计算到192(= 5)边形即可得到祖率,即比刘徽多割一次即可。又,这相当于以BO为轴的抛物线替换图中圆弧ABC,其面积阿基米德(287 BC -212 BC)已经知道

1/8=0.125,1/6=0.166667,而1/7=0.142857…,那么31/7 22/7就是圆周率的偏大估计。1/7 修改为= 1/(7+1/nn/(7n+1),其在1/8~1/7 之间;选择合适的n可以提高精度。计算5次即可得到祖率355/113

n=10=0.1408451; n=20=0.1418440

n=15=0.1415094; n17=0.1416667

最后可确定n=16=0.1415929

4   结 语

祖冲之利用算筹进行开方运算,将圆周率精确至小数点后7位,确实是一件非常困难的工作。但对数学本身的贡献,似乎不能与欧几里得(公元前330一前275)创立平面几何相比。又,埃及人在公元前225年确定地球半径4000英里,希腊人在公元前130年确定地球距月亮236000英里;两者与现代数据3986英里和240000英里相差无几。对别国的古代文明,我们似乎介绍不够。 

1  夏道行. π和e.上海:上海教育出版社,1964. 10~17

2  弗伦奇A P. 牛顿力学(第二册) .人民教育出版社,1982.75~77 

拙稿完成于 1994年春节;曾多次投稿,最后发表于

尤明庆.割圆术确定圆周率方法的改进——祖冲之确定圆周率过程之猜测. 安阳师范学院学报,2003,(2):11~12, 14.    因公式输入困难, 博文对数学分析作了省略。 



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