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合力的作用点与三角形的心 精选

已有 2817 次阅读 2018-10-24 20:46 |个人分类:力学科普|系统分类:科普集锦| 三角形, 力平衡, 重心, 外心, 垂心

 阿基美德(公元前287~212年)提出力矩的概念,解决了平行力的平衡问题;若一个力与多个平行力平衡,则其等值反向的作用力就是那些力的合力。显然,各个分力关于合力作用点的力矩之和为零。

 1   中学平面几何介绍三角形时说,若在顶点布置等重物体或相同作用力 W,则BC 两处作用力的合力在中点D;三力的合力作用点一定在中线AD上,当然也在另两条中线上;三条中线必然交于一点,即三角形的重心M,其分中线为2:1。该点也是均质等厚三角板的质心。

 T1.jpg

顺便说一句,若在四面体的顶点布置等重物体而求其重心,则容易理解四面体的对边之中点连线交于一点,且该点为3条连线之中点。 

2   如果在三个顶点布置物体的重量与对边的长度成比例,则BC 两处作用力的合力作用点E 满足BE/EC=WC/ WB=AB/AC;于是AE为∠A的平分线,且三力的合力作用点一定在AE上,当然也在另两条角平分线上;三条角平分线必然交于一点,即三角形的内心I:内接圆的圆心。又,若将A点处作用力反向,则三力的合力作用点在AE的延长线上、以及∠B和∠C的外角平分线上,三线必然交于一点即三角形的旁心。 T2.jpg

3   在三个顶点布置物体的重量与角度的正切值成比例,则BC 两处作用力的合力作用点F 满足BF/FC=WC /WB=tanC/tanB;于是AFBC边的高,且三力的合力作用点一定在AF上,当然也会在另两条高线上;三高必然交于一点即垂心H

T3.jpg

tanC = – tan(A+B),有tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC

可以选取图中系数w 而使三点作用力之和为单位 1

 4   如果在三个顶点布置物体的重量具有图示数值,三角形处于水平状态;若外接圆半径为R,则BC 两处作用力以及A处作用力关于中垂线DD’的力矩分别为 

T5.jpg

显然,三处作用力关于中垂线 DD的力矩为零,因而合力作用点一定在DD上,当然也在另两条中垂线上;三者必然交于一点,即三角形的外心O 

5  上面两节的对应点作用力之和正好为1,如A  T6.jpg 

如前所述,垂心H处作用的合力为1;而重心M处的总合力为3;于是,外心O处作用的合力为2。这就证明了“三角形的重心在外心与垂线的连线上,且分其为21”。这一结果是欧拉1765年发现https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_line 

6   几何证明是容易的。延长BO Q,使OQ=BO,即Q在外接圆上;

容易知道AHCQ 为平行四边形,因而CH //= QA //= 2OE

于是中线CEOH的交点M分两线均为21。点M当然是重心。

T4.jpg 

HC的中点P,连接EPOHN,因HP //= EO 知道NEPOH的中点;G 为垂足,因而在EP为直径的圆上。再注意到EO //= PC,因而EP//= OC即该圆直径等于外接圆的半径。于是,三边的中点、垂足以及垂心与顶点连线之中点都在这个“九点圆”上。据此也就知道垂心H将高所分两段之乘积相等。

7   事物内部的联系真是复杂呢。


注:(1)我不知道此前是否有人利用合力作用点证明 外心-重心-垂心 共线;

        (2)欧拉线以及九点圆读高中时就知道;不过,此次写作时没有查阅任何书籍;只是在拙稿完成之后看了一下https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_line 以确认年代。



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