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放大和缩小的计算技巧:以确定圆周率为例 精选

已有 8888 次阅读 2017-9-28 10:10 |个人分类:教学|系统分类:教学心得|关键词:手工计算,精度,圆周率| 精度, 圆周率, 手工计算

手工计算时代需要基于数据精度考虑具体的计算方式,放大、缩小和求平均,就是技巧之一。

(1)  Basel问题

自然数平方的倒数之和是收敛的,欧拉得到其极限为π2/6

张江敏疯狂的绝技——级数加速收敛的艺术http://blog.sciencenet.cn/blog-100379-1075769.html

级数平方衰减,截断到n项的和Tn,则误差在1/n量级。不过,若想结果精确到小数点后三位,并不需要计算到1000项——对没有计算的余项可进行估算呢。 

若圆周率误差为δ,则(π+δ)2/6=π2/6+πδ/3+δ2/6,因而级数的误差和与π的误差δ相当。

10项的和T10确定的π 为3.049362,修正1/(10+1) 之后,则π 为3.137525;

修正1/2(10+1)^2=0.004132后, 得到π=3.141473

与真值3.141593,仅相差 0.000120。


(2) 割圆术

半径为1的圆,内接正6边形边长b6= 1

n边形边长bnb2n= sqrt(2 –sqrt(4 – bn))

n=6×2^k边形边长A= sqrt(2 – Bk)式中

Bk =sqrt(2+sqrt(2+…+ sqrt(2+sqrt3) …)), k–1次开方

2n边形面积S2nnbn/2,极限是圆周率π。

这就是魏人刘徽公元263年创立的割圆术,其以6 × 2^4= 96边形的边长确定圆周率3.14。

通常认为,南朝祖冲之(429~500年)得到圆内接6× 2^11= 12288边形的边长,确定圆周率精确至小数点后7位。这是非常困难的:为了保证π的精度,B11=1.9999……需要16~17位有效数字。祖冲之所著《缀术》失传,具体计算方法难以知道;但他肯定知道有效数字随着边数的增加不断减少,进而研究提高精度的途径。

    刘徽割圆4次至96边形的结果可以写为

S192= S12+(S24S12) +(S48S24) +(S96S48) +(S192S96)

S12=3;而第一次割圆增加量即S24S12 =0.1058285412第二次增加量减少,只是第一次的0.253240倍,第三次、四次增加量是其前次增加量的0.250805和0.250201倍。

割圆引起的面积增加比值D逐次减小而趋于 0.25即1/4。继续割圆的面积增加,若以 1/4 的比例计算,即弓形面积为(S192S96)/3是缩小的估算;而以D96的比例计算,即弓形面积为(S192S96)* D96/(1–D96)是放大的估算。于是有3.14159253<π<3.14159313以上数据是Excel 计算的,所列数字都是有效的。

如果以12位数字计算到192边形(k=5),即可得到祖率3.1415926<π<3.1415927,即比刘徽多割一次即可。我想,当年祖冲之就是这样做的。

又,若注意到割圆引起的面积增加比值与1/4 的差异也以1/4的比率减小,因而圆周率会接近于下限,即对上下限求平均并不能提高精度;不过,若依据D96估计D192 =0.250050 进而计算(S384S192),即可得到祖率而不必具体计算192边形的边长。

 1/8=0.125,1/6=0.166667,而1/7=0.142857…,那么3又1/7 即22/7就是圆周率的偏大估计。将1/7 修改为= 1/(7+1/nn/(7n+1),其在1/8~1/7 之间;选择合适的n可以提高精度。计算5次即可得到祖率355/113

n=10=0.1408451; n=20=0.1418440

n=15=0.1415094; n17=0.1416667

最后可确定n=16=0.1415929

(3)  此情可待成追忆

1994年初搬入两室一厅的新居,有了独立的书房。过年无处可去而翻看旧书,觉得祖冲之似乎不会割圆11次计算圆周率;于是,用十位数字的计算器Casio fx-4500p略作演算,写出“割圆术确定圆周率方法的改进——祖冲之确定圆周率过程之猜测”。敝帚自珍,多次投稿后发表于《安阳师范学院学报》的2003年第2期;也曾在博客介绍http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-776036.html

书上铅笔所写的结果已经不清楚啦。24年也就要过去了。

照片中小册子“夏道行. π和e”1964年第1版,但是1978年重印的,3万6千字,定价 0.15元;“张弛.不等式”,5万8千字,定价 0.22元。也就是二、三两猪肉的钱——其时含骨统肉一斤 0.73元。

1978年暑假后坐船6小时到县城上高中,自己手中也就有了一点零花钱,时常去学校对门的新华书店看看,偶尔也买本书。我觉得读书比做题要好,只是那时候书籍很少啊。

最后给出当年发现的一个结果,只要记得 sqrt(5)=2.236 就行啊


附录:多次投稿也就是多次退稿啊。下面所展示的投稿 也是被退啊。二十年已经过去了。

从写作到发表用了九年时间。也花了点功夫呢,只是博文里说得简单。
现在条件好啊,若做出题目,真不必再三再四投稿,完全可以在博客贴出来。有人看就行。

Scan0006.jpg

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那时投稿还要到邮局寄纸质文本,有些刊物要审稿费,有些刊物说“6个月未见录用通知可自行处理”,有些刊物因“人力所限来稿概不退还”。文章手工抄写不易,且害怕重抄出错,最初投稿时多说“随信寄上贴足邮票、写好地址的回程信封;若拙稿不能采用,烦请掷回”。当然,



http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-1078100.html

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