博文“谈蝉说生死”提及周作人《看云集》。“看云”二字来自唐·王维（701~761）诗句“行到水穷处，坐看云起时”。读诗之后又回味了30多年前学习“无穷”时的惊奇，因而略述几句，以为纪念。

1   自然数1、2、3、4、5、6 …… 一一数下去，没有穷尽。2、4、6、8、10 …… 是偶数，其余是奇数，当然都是无穷的。又，0 是印度人发明的，并不能算作自然数。

自然数乘以2 就是偶数，因而每一个自然数都能找到一个偶数与之对应，即自然数不会比偶数“更多”；当然偶数也不会比自然“更多”。就“无穷多”而言，偶数与自然数级别相等，称为“可列集”。集或集合就是具有某一性质东西(雅称元素)的全体。

有限个乃至可列个可列集的总合，其元素也是可列。可列集 A₁、A₂、A₃、A₄ …… 

A₁ ={a₁₁，a₁₂，a₁₃，a₁₄，a₁₅，…… }

A₂ ={a₂₁，a₂₂，a₂₃，a₂₄，a₂₅，…… }

A₃ ={a₃₁，a₃₂，a₃₃，a₃₄，a₃₅，…… }

A₄ ={a₄₁，a₄₂，a₄₃，a₄₄，a₄₅，…… }

………………………………

所有元素可按下标之和逐步列出

A={a₁₁，a₁₂，a₂₁，a₁₃，a₂₂，a₃₁，a₁₄，a₂₃，a₃₂，a₄₁，a₁₅，a₂₄，a₃₃，…… }；

集合A_n的第m 元素a_nm 列于第(n + m -1) (n + m -2)/2+m位. 

有理数是自然之比值。若记a_nm= n/m，则每一个正有理数对应于无限个a_nm，而后者可列，有理数的全体当然也是可列的。需要知道，有理数之平均值还是有理数，因而任意两个有理数之间有无穷个有理数；而全部有理数竟可以按顺序一一排列出来，竟与自然数同等“(无穷)多”。这是何等地令人惊奇啊。

2   古希腊的毕达哥拉斯(约前580－前500）发现直角三角形两直角边平方之和等于斜边之平方，即勾股定理。直角边为3和1时，斜边平方为10。以反证法说明该斜边不是有理数。

若斜边是有理数，则有 (n/m)^2=10，当然，自然数n和m不能都是10 的倍数，不然就先进行约简。于是，n^2=10 m^2；n 得是10 的倍数，n =10 k；也就有10 k^2=m^2。这必然要求m也是10 的倍数，与前述条件不符。顺便说一句，毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现，任何有理数的平方都不可能等于2；该认识不能得到老师的认可，又因将此传到学派之外而被判罪溺死。其时中国的孔子大约已经五十而知天命啦。

有理数并不是数的全部。我们要问，所有的数能与自然数对应而可列吗？不能！仍反证法说明。0~1之间的数可以小数表示，假设其可列

B₁ =0. b₁₁b₁₂b₁₃b₁₄b₁₅……

B₂ =0. b₂₁b₂₂b₂₃b₂₄b₂₅……

B₃ =0. b₃₁b₃₂b₃₃b₃₄b₃₅……

B₄ =0. b₄₁b₄₂b₄₃b₄₄b₄₅……

……………………………

若b_nn ≠ 5令b_n=5，若b_nn=5令b_n=4；则小数B=0. b₁b₂b₃b₄b₅…… 不在上述排列之中，因而原假设不能成立。0~1之间的数为不可列，其比有理数要“无穷得多”。

3   为叙说便利，将a ≤ x ≤b的数x全体记为闭集 [a, b]；而不包含端点则记为开集 (a, b)。基于一一对应的观点，由y=3x知道[0, 1]与[0, 3] 的数或点具有相同数量；由y=tan(180 x -90) º知道[0, 1]与所有数或整个数轴上点具有相同数量。局部并不少于全体！

若建立直角坐标系，边长1的正方形内点可用一对小数表示。

X=0. x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ ……

Y=0. y₁ y₂ y₃ y₄ y₅ ……

其与小数C =0.x₁y₁x₂ y₂x₃y₃ x₄y₄ x₅y₅ ……对应，即平面内每一个点(X, Y)都有不重复的[0, 1] 数C与其对应；因而正方形内点不会多于线段[0, 1]内的点，至于少当然也是不会的！很容易说明，线段[0, 1]内的点与整个平面、整个空间的点具有相同的“无穷多”。

4   在介绍“最惊奇”的无穷之前，先简单说一下数的进制。时间之外，我们用十进制，逢十进位：34表示3个十、4个1；而0.54则表示5个“十分之一”、4 个“十分‘十分之一’”。计算机以线路之通、断表示0、1，采用二进制。十进制的9写成二进制就是 1001；小数也可换成二进制，十进制0.25和0.75 写成二进制就是0.01和0.11。三进制则用0、1、2来表示数，并不用符号3。

将数集[0, 1] 挖掉中间三分之一，用三进制表示时所余两段是[0, 0.1] 及[0.2, 1]。方括号表明包含端点，而新增端点标为红色。再挖掉这两段中间三分之一，则所余为[0, 0.01] 和[0.02, 0.1] 及[0.2, 0.21] 和[0.22, 1]；第三次挖后是[0, 0.001] 、[0.002, 0.01]和[0.02, 0.021] 、[0.022, 0.1]以及[0.2, 0.201] 、[0.202, 0.21]和[0.22, 0.221] 、[0.222, 1]；依次挖除不止。显然，端点不会因挖除消失。最终整个[0, 1]被挖掉，留下称为康托尔尘集（1883）的无穷多个点。

对上述红色数字作“1改为0，2改为1”的变换，得 0.0，0.1；0.00，0.01，0.10，0.11；0.000，0.001，0.010，0.011，0.100，0.101，0.110，0.111；……。每组数字分别是1位、2位、3位……的二进制小数全体。这就是说，[0, 1]中每一个二进制数都在康托尔尘集中找到（无穷多个）对应点，因而点数不多于康托尔尘集，当然后者也不会更多。

总长为零的康托尔尘集与[0, 1]数集、整个平面、整个空间的点具有相同的“无穷多”；而尽管任意两个有理数之间有无穷个有理数，全部有理数却只是与自然数同等“(无穷)多”。说到无穷，真是不能想当然啊。

附录：

20年前用扑克牌算24。偶尔遇见些有趣的算例：如(13*7 + 5) / 4 和 (13*11 + 1) / 6 等。也曾主动作些研究，如7 * (3 + 3 / 7 )  和 8 / (3 – 8 / 3 )  可是在梦里想出来的啊。引入分数而在有理数范围内计算，思路开阔也就“生存空间”增加！自那以后就将“这算不出来”改口为“我算不出来”。文史研究“说有易，说无难”，真是这样呢。 

意大利人L. Fibonacci (1170 – 1250)以兔子繁殖为例引入数列：

兔子月初出生，两个月整后即可每月生育一对，

其前十个及第20和30个的月底数是：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …, 6765, …, 832040, …

该数列可定义为：F(0)=0，F(1)=1, F(n+2)=F(n+1)+F(n)

方程 q²=q+1的根q₁=(1+sqrt(5))/2 和 q₂=(1–sqrt(5))/2：

数列可表示为 F(n) =(q₁ⁿ–q₂ⁿ)/sqrt(5)，abs(q₂)<1可不予考虑，

F(n) 近似于公比q₁=1.6180… 的等比级数，倍增时间1.44月。

为表示整数列竟引入无理数sqrt(5)，得在实数范围内计算才行。

假设老鼠生育三胎后月底前死亡。前十个月及第20和30个的月底数是：

1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, …, 1278, …, 58425, …，

满足 S(n+3) =S(n+2) +S(n)，

老鼠有初生及1~3月四龄，在n+2月底的数量分别为s0，s1，s2，s3。

因s3 在n+3月生育后死亡，对总量增加没有贡献；而s0 尚不能生育。

S(n+3) 比S(n+2)的增加量是s1+s2。

s1 就是n+1月的初生鼠；而s2是n+1月的1龄鼠、n月的初生鼠。

n+1月初生鼠数量s1 就是n月1~3龄鼠数量，与n月的初生鼠数量即s2 之和等于n月总量S(n)。

特征方程 q³=q²+1；记q = r +1/3即r³– r/3– 29/27=0；

拆分r= x+y，x³, y³= [29/27±sqrt(31/27)]/2

实数三次方根为X=1.02370…, Y=0.10854…。记ω=(–1+i*sqrt(3))/2，

q₁= X+Y+1/3 =1.46557…，q₂= Xω+Yω²+1/3，q₃= Xω²+Yω+1/3

S(n) = aq₁ⁿ+bq₂ⁿ+cq₃ⁿ满足递推关系，由S(0)=1, S(1)=1, S(2)=1 确定a=0.61149…

q₂和q₃为共轭复根，由维达定理知模长为sqrt(1/q₁)=0.82603…< 1;

S(n) 近似为公比q₁= 1.46557… 的等比级数，倍增时间1.81月。

计算表明，S(n) 就是 aq₁ⁿ 的整数取值。

（本段内容摘自笔者未完成的文章，相关分析计算为自己所做）

为确定整数列的通项公式竟引入虚数i，需在复数范围内计算才行。 

解决问题可能需要在高于问题的层次上进行；陷入困境也得登高望远才能寻找出路。