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圆柱浮体的平衡姿态及其稳定性

已有 4733 次阅读 2019-1-4 09:13 |个人分类:力学科普|系统分类:科普集锦| 圆柱, 浮体, 平衡, 稳定, 突变

 引言:物体在液体中受力与其表面材料无关,置换为该液体时应处于平衡状态,因而受力就是相应液体重量,且通过其形心即浮心。浮心相当于浮体的支承点,重心在其下方一定稳定平衡;若浮心低于重心,不同姿态下浮心全体也就相当于刚体外轮廓,重心与浮心的距离达到极小则稳定平衡。

浮体平衡姿态的确定有时比较繁难,朱照宣老师1984《非线性力学》讲义介绍:比重0<γ<1的正立方体木块在水中稳定姿态与1–γ时相同;在0<γ≤1/6 1/4≤γ≤1/2时只有一个稳定平衡姿态,分别为两个面水平和一个对角线铅直,即木块与水面的交线分别为正方形和六边形;而1/6<γ<1/4时则有23个稳定平衡姿态,木块与水面交线可能是正方形、六边形、平行四边形或五边形;与水面交线是正三角形时则不可能成为稳定平衡姿态。下图是各种情形下排水体积的求算,其后需要求其形心即浮心的位置。

讲义中还提及圆柱浮体的稳定平衡姿态,称“计算工作量较大,大型作业”。 尽管作了多次检索,仍不能确认他人是否发表过相关内容,因而写作之前真是有些犹豫呢。不过,最后还是决定花工夫计算画图,选了部分图件写成“圆柱浮体的平衡姿态及其稳定性”, 2018年寒假过后送到《力学与实践》,请编辑部和审稿专家审查。在投稿信中说“只当完成34年前的作业啊”

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下面给出简要介绍,详尽分析请阅:尤明庆. 圆柱浮体的平衡姿态及其稳定性. 力学与实践, 201840(6): 676-682  http://lxsj.cstam.org.cn/CN/abstract/abstract147067.shtml#


 正文:圆柱在轴线竖直和水平的平衡姿态之外,另有图所示的3种可能姿态。圆柱轴线即y轴从竖直方向偏离的角度为θ

Fig. 2.jpg

(a): 水面仅与 侧面相交; (b): 水面与 侧面及底面相交;  (c): 水面与 顶面及底面相交


半径R、长L、体积V的圆柱体浮于水面,比重为γ<1。水面将圆柱分为两部分。基于浮力定律,水下部分的体积是γV,其形心就是浮心B。水上部分的体积是(1–γ)V,其形心B’。两部分构成圆柱体,因而连线BB’ 必然通过圆柱体中心W,且有 BW * γV= BW'* (1–γ)V。于是,BWB’W随姿态的变化特征相同。这意味比重γ1–γ的圆柱体平衡姿态即水面位置相同。因而下面仅对0<γ≤0.5情形予以说明。

Fig. 3.jpg

上图是几个关键位置处圆柱比重与长径比的关系。 

黑色曲线1下方,圆柱可以竖直姿态稳定平衡。长度达到曲线1之后继续增加则出现倾斜的平衡姿态,且是稳定的,而竖直姿态变为不稳定平衡。棕色曲线4上方,圆柱可以水平姿态稳定平衡。长度减小达到曲线4之后则会倾斜,水平姿态变为不稳定平衡。这就是说,圆柱参数在上图的左右两侧时,圆柱可以竖直的姿态、也可以水平的姿态稳定平衡。 

圆柱参数在红色曲线2,底面边缘的P 点正好到达水面,长度增加底面则逐渐出露水面;蓝色曲线3,顶面边缘的Q点正好到达水面,长度减小顶面则逐渐出露水面。在曲线的交汇区域,圆柱浮体的平衡姿态比较复杂。仅以比重 0.2 为例说明圆柱平衡位置的倾角和浮心-重心的距离随长径比的变化特征

 Fig. 4.jpg

圆柱长度从0增加到L1=1.768R时轴线竖直即θ=0o失去稳定而开始倾斜,重心-浮心距离仍随长度近于线性增加;在L2=1.826Rθ=20.1o时,底面边缘P出露水面、圆柱进入姿态b。长度增加到1.843R后姿态b的平衡位置就有两解,重心较低者是真实存在的状态。在θ=25.3o时达到长度极值,其后长度增加则无解而只能发生突变,倾角θ跳跃到90o,即圆柱轴线水平,重心高度也由0.7348R突降到0.7003R

若圆柱长度减少至1.742R,开始偏离水平状态,继续减少至1.677Rθ=60.3o时,顶面边缘Q开始出露,但很快就发生突变,圆柱姿态转为竖直状态。在两个极值点处圆柱浮体的平衡位置发生鞍结分岔,而其中间的不稳定平衡位置不会实际出现。

稳定平衡姿态的突变点所对应的圆柱参数就是前面大图中绿色曲线J参数位于两个分岔集J 之间的区域Ⅰ~Ⅴ,平衡位置有2个或3个,但只有1个是稳定的。如下图所示,长度在L1~ L4之间时,姿态a、b或c的平衡位置是稳定的,而轴线竖直或水平的姿态则总是不稳定的。

系统参数位于分岔集的左右两侧时3~5平衡位置,其中2个是稳定。计有9种情形。圆柱总是具有轴线竖直、水平的平衡姿态以及至少姿态b的一个不稳定平衡位置。轴线竖直和水平的平衡姿态在区域① 都是稳定的。

 Fig. 5.jpg

参数在区域,轴线竖直姿态失去稳定,但分别增加了姿态a b的稳定平衡;在区域,轴线水平姿态失去稳定,但分别增加了姿态c b的稳定平衡。前述γ=0.2<γ14=0.2050的平衡位置变化,包含了区域①~⑤以及和Ⅴ。

参数在区域⑥~⑨,有轴线竖直、水平以及姿态b3个不稳定平衡位置;除此之外,参数在区域有姿态ac、在区域有姿态bc、区域有姿态ba 的各1个稳定平衡位置,在区域则有姿态b2个稳定平衡位置。图中γ=γ23=0.2415L=1.7222R是区域⑥~⑨的结合点:姿态Pθ=22.6o和姿态Qθ=57.5o是稳定平衡位置,而θ=45.7o以及竖直和水平的姿态都是不稳定的。

综上所述,平衡位置的数量有2~5个,而稳定姿态则是相间的1~2个。系统参数从区域跨出分岔集J时,原姿态b的稳定平衡位置将失稳而跳跃到区域Ⅰ~Ⅴ的稳定平衡位置。参数在区域有姿态b3个平衡位置,在分岔集J一个稳定平衡位置会失稳而跳跃到另一个稳定平衡位置。又,参数进入分岔集J时平衡位置不会发生突变。详尽分析烦请参阅

尤明庆圆柱浮体的平衡姿态及其稳定性力学与实践,201840(6): 676-682 

http://lxsj.cstam.org.cn/CN/abstract/abstract147067.shtml#



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