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一元函数积分法的应用——谈教材中的例题选取

已有 727 次阅读 2017-10-1 10:44 |个人分类:教学|系统分类:教学心得|关键词:微积分,例题,

博主按:24年前曾为“实用人才班”、“自学考试辅导班”讲授高等数学课程多次。因而也就看了多种教材,写出一些笔记。贴出一篇,敬请大家批评。

教材中有些“实际问题”并不实际、比如引出三重积分的实际问题是求物体的质量,而这种情形实际上是难以出现的。通常求质量都是先求体积再乘以密度;而求体积只需要二重积分。某教科书中还有这样的例题和习题:

一圆柱形的贮水桶高为5米,底圆半径为3米,桶内盛满了水。试问要把桶内的水全部吸出需要做多少功?

设一锥形贮水池,深15米,口径20米,盛满水。今以卿筒将水吸尽,问要做多少功?

这样的问题究竟有多大实际价值实在是个疑问,且至少要说明把水吸到何处,吸到多高。如果只是要将水吸出桶外,则可以利用虹吸原理,不必依靠外界动力。照教材上例题的求解过程看,是将水吸至桶口所在平面。这实在是过于牵强。

教科书选取有关实际应用的例题,应该简单易懂,同时又只有利用微积分才能解决的问题。具体地说,应尽可能做到如下四点:

(1) 有明确的实际背景。这样在求解之前对问题的物理实质进行充分的讲解,使学生能够掌握解题中的思考方法,将实际问题归纳成一个数学问题。

(2) 只需简单的物理力学知识,最好只使用中学课程和知识,切忌直接引用那些普通物理或材料力学等课程中的知识,而一年级的学生尚没有学过;否则,“实际应用”的例题就变成了单纯的数学计算。

(3) 所得结果能够利用学生已有的知识、经验或者常识来验证。一般来说,课堂讲授的例题最好使用字母来代替各个参量。只有这样,所研究的问题才具有一定的广度,一定的普遍性。象上面吸水问题,结果是一个很大的焦耳数,谁也无从判别其正确与否。此外不使用具体数据进行计算,还可以节省时间。

(4) 对所得结果能够进行更深入的讨论、分析,引导学生作举一反三的思考。使简单的问题也具备一种研究、探讨的性质,引出习题使学生进一步理解、体会高等数学的实际应用。

根据上述原则,拟出如下4类例题供讲授一元函数定积分应用时参考。

1.旋转物体的内力

2.水箱放水的时间

3. 变力的做功

4. 圆台体的重心

一元函数积分法的应用_谈教材中的例题选取.pdf工科数学, 1994, 2期,170~176



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