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数学和物理及力学:以圆柱面上摩擦滑动为例 精选

已有 5968 次阅读 2017-7-3 09:43 |个人分类:力学科普|系统分类:教学心得|关键词:圆柱面 滑动 摩擦 非线性

 《辞海》2000版缩印本 570页的条目:“力学  物理学的一个部门。研究宏观物体机械运动规律及其应用的学科”;而2010年版彩图本1352页 则删除红色文字,在“学科”前添加“一门”二字。这样的解释似不够准确。笔者给出如下定义和解释  http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-747329.html

力学以物理为基础、以数学为工具,研究物体的受力与运动、变形和破坏之间的关系,以及电、光和热等因素对该关系的影响。力学具有科学和技术的双重特征,是独立于数学和物理的一级学科,已成为天文、地质、机械、建筑、水利等众多学科的基础。

0  因写作文[1],时隔10年再次阅读加州理工学院教材《力学世界》[2],觉得孔子所说“温故而知新”真是至理:学习新知识遇到困难时需温习已学知识,并可获得新的领悟。

书中习题“儿童坐在半圆形冰墩顶部,受到轻推而滑下;假设没有摩擦,求其脱离冰墩的位置”固然容易。不过,摩擦总是存在的,而圆柱面上物体所受摩擦力与下滑速度和位置相关,具有显著的非线性特征,或许可作为例题在课堂讲解。

1  不考虑尺度的物体质量m,在半径R 的圆柱面上滑动,顶点处水平速度U摩擦因数μ=tanφ2  ≥ U0gR,则物体从顶点平抛而出;否则受切向摩擦力 f = μN 下滑,法向支承力切向速度满足

公式(1)和(2) 是物理原理公式(3)~(5) 是数学求解;而实际问题还需要在数学公式的基础上给出具体的力学分析

2  给定摩擦因数时可计算不同初速U 的物体下滑的速度,部分初速注在曲线旁,其余可从纵轴读出。右侧红色粗线,即V2/gR cosθ 表示= 0 物体滑脱时速度。相关数值均以速度平方值给出,且以从顶点平抛而出的速度U02=gR无量纲化。

2  不同初速的物体在圆柱面下滑速度

下滑初期滑面倾角较小而重力势能下降缓慢,且重力的法向分力引起较大摩擦力,物体动能减小;后期重力势能减少超过摩擦力做功则速度增加。若初速偏低,物体可停止在圆柱面上;若物体能到达倾角θ = φ处,则微小扰动后下滑力可大于摩擦力,则会下滑而最终脱离圆柱面。图2用黑色粗线给出临界状态。显然,摩擦因数越小,速度下降范围越小。

初速U 较大时,因离心作用使正压力减小进而摩擦力减小,θ 小于摩擦角φ 时速度V就开始增大,滑脱点θH可以小于φ。显然,速度和离心作用存在正相关,后者引起摩擦力减小而更快加速,因而式(4)的速度与位置θ 存在指数关系。

角度θ 从0增加到摩擦角φ,因式(5) 积分项为正,F将 从0单调增加而达到最大值

G(φ系统的控制参数即摩擦角和初速分割为两个区域:上方滑脱,下方停止

3  停止及滑脱位置与初速和摩擦角的关系

只要初速满足UUc2=gRG(φ)θ0增加到摩擦角φ过程中,式(4)定出现零值,即物体在圆柱面上停止,等号成立时停止位置达到最低θT= φ;反之,若UUc2,则式(4) 速度永远不会达到零,而随着θ增加重力的法向分力减小终会达到 =0,即物体从圆柱面滑脱

φ =0º只能在θT=0º不稳定停止,而θT较大时参数范围缩小。要使物体停留在θT大于30º的位置而不滑下,需仔细选择摩擦角和初始速度。φ=0º而初速为零时,滑脱角θH最大可以达到arccos(2/3)=48.2º,即受微小扰动之后下滑高度 R/3后脱离圆柱面;更大的滑脱角则需要摩擦作用。

G(φ)φ单调增加至1,即不管摩擦因数多高,物体以低于平抛速度U0初速Uc可克服摩擦而达到停止位置θT=φ;若有微小扰动则下滑脱离圆柱面。更大初速将引起滑脱角θH减小。

在摩擦较大如摩擦角60º 时,初速在临界速度Uc附近的微小变化将引起运动状态的极大改变,或者说运动具有不稳定性。图4是给定摩擦角下停止和滑脱位置随初速的变化特征,存在突变点。摩擦角为零时不存在稳定的停止状态

4  不同摩擦角下物体停止和滑脱位置随初速的变化

摩擦角φ=75º 时初速在临界值附近的停止和滑脱位置在右侧单独放大给出。为使计算值θ= 75.0ºθ= 83.2º 精确到 0.1º,参数Uc2/gR =0.9471097,即需要有7位有效数字;当然,角度换化为弧度时所用圆周率也需要有相应的精度。如文[1]所讨论,处理试验结果时需依照数据的有效位数来考虑圆周率、重力加速度以及水密度等常数取值的精度

U2/gR从临界值减小到0.945(精确值即减小0.00211,停止角从75.0º减小到41.2º;而U2/gR达到0.950(精确值从临界值增大0.00289,滑脱角从83.2º 剧减到34.8º。控制变量的变化总计只有0.5%,而系统状态完全不同。

4摩擦角的影响趋势表明,φ接近90 º时系统状态出现奇性:U2/gR接近1时物体可停留在不同位置,也可从不同位置滑脱,即图3右上角;而其达到则物体从顶部平抛而出。

力学以物理为基础,以数学为工具,研究物体的受力与运动、变形和破坏之间的关系。就物体在圆柱面上运动而言,牛顿第二定律和库仑摩擦定律是物理基础微分方程是数学工具,而基于速度公式(4)所演绎的图2~4及相关分析构成了力学内容。

物体在圆柱面上摩擦滑动属于非线性系统:停止或滑脱位置是状态参数;摩擦因数和初速是控制参数,其连续变化可引起状态突变。简单确定的速度公式(4)蕴涵有参数的复杂关系,而参数实际取值误差可能使系统状态不再可以准确预测。此外,图4的曲线似乎表明,在特别困难的局面而坚持到临界状态,些微努力就能取得巨大效用

1   尤明庆间接测量质量试验的可靠性及数据精度力学与实践,2017, 39(2): 205-207, 195

http://lxsj.cstam.org.cn/CN/abstract/abstract146387.shtml

2   Olenick RP,  Apostol TM, Goodstein DL. 力学世界李椿,陶如玉译北京大学出版社, 2002. 

以上内容摘自拙稿  圆柱面上滑动和滚动的分析力学与实践, 2017, 39(3): 290-296

http://lxsj.cstam.org.cn/CN/abstract/abstract146510.shtml错误欠妥之处,敬请批评。 



http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-1064286.html

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