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清华笔记:计算共形几何讲义 (13)Koebe 迭代收敛性
热度 1 顾险峰 2019-9-4 12:17
【上课时间:每周二和周四上午9:50-11:20AM;地点:清华大学,近春园西楼三楼报告厅。欢迎任何有兴趣的朋友,前来旁听指导。】 图1. 亏格为0、带有多个边界的曲面到平面圆域(Circle Domain)的共形映射。 这节课我们讲解亏格为零、带有多个边界曲面的共形模(conformal module)。如图1所示,带有多个洞 ...
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清华笔记:计算共形几何讲义 (12)极值长度
热度 1 顾险峰 2019-8-29 07:23
图1. 圆柱面的共形模。 拓扑等价的度量曲面是否共形等价,亦即拓扑同胚的带有黎曼度量的曲面间是否存在保角双射,这是一个微妙的问题。几何上,我们需要寻找共形变换下的全系不变量,通过比较不变量,我们可以判断曲面是否共形等价。如果曲面是拓扑圆盘,边界上选取四个角点,则曲面被称为是拓扑四边形。拓扑 ...
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清华笔记:计算共形几何讲义 (11)黎曼映照(Riemann Mapping)的存在性
热度 1 顾险峰 2019-5-23 09:28
共形几何中最为大家所熟识的定理大概非黎曼映照 莫属,其证明方法也是丰富多彩,各有千秋。这里,我们回忆一下经典的复分析手法,朴素初等,但是非常具有代表性。在复分析中,标准共形映射的存在性证明,一般都遵循如下的方法:首先定义一个全纯函数的正规族,然后考察函数的Taylor(或者Laurent)级数展开, ...
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清华笔记:计算共形几何讲义 (10)纪念米尔扎哈尼——泰希米勒(Teichmuller)空间
顾险峰 2019-5-19 09:03
多年以前,我还在哈佛求学,导师丘成桐先生叮嘱我要研究柯蒂斯. 麦克马伦(Curtis McMullen)的理论,McMullen用组合的方法来研究共形结构,非常适合计算。丘先生自己也在哈佛的研究生课程上讲解这个理论。多少年来,我和合作者、学生们一直致力于探索这一方向,例如我们前不久基于全纯二次微分的计算曲面叶状结构( ...
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清华笔记:计算共形几何讲义 (9)全纯微分
热度 1 顾险峰 2019-5-13 00:04
双全纯函数 图1. Escher 效果:双全纯函数是复平面间的共形映射。 黎曼面 图2. 黎曼面的概念。 黎曼面和黎曼度量 ...
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清华笔记:计算共形几何讲义 (8)狭缝映射(Slit Map)的存在性
顾险峰 2019-5-8 18:05
我们用较为初等的复变函数方法证明一种共形映射的存在性:狭缝映射(slit mapping)。如图所示,给定亏过为0的多连通曲面,存在共形映射将其映射到平面区域,每个边界的联通分支都被映成一条狭缝(slit)。这里所用的数学证明方法比较巧妙,令人赏心悦目。真正的计算和需要应用全纯微分的方法。这篇笔记和罗 ...
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清华笔记:计算共形几何讲义 (8)狭缝映射(Slit Map)的存在性
顾险峰 2019-5-5 13:10
我们用较为初等的复变函数方法证明一种共形映射的存在性:狭缝映射(slit mapping)。如图所示,给定亏过为0的多连通曲面,存在共形映射将其映射到平面区域,每个边界的联通分支都被映成一条狭缝(slit)。这里所用的数学证明方法比较巧妙,令人赏心悦目。真正的计算和需要应用全纯微分的方法。这篇笔记和 ...
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清华笔记:计算共形几何讲义 (7)矢量场设计
热度 1 顾险峰 2019-4-30 11:26
漫长的课程至此,我们终于可以应用所学的理论工具来分析解决一些实际问题了。我们学习了曲面的代数拓扑和 微分拓扑,de Rham上同调的霍奇理论,作为应用实例,我们讨论如何构造曲面上光滑矢量场的问题,这一问题对于设计卡通动物的毛发具有根本的重要性;同时,这一个例子可以使我们对所学的各种概念融汇贯通。 ...
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清华笔记:计算共形几何讲义 (6)上同调的霍奇理论
热度 1 顾险峰 2019-4-25 11:21
这次课程,我们介绍霍奇分解定理,这一定理在图形学、视觉和网络中,应用非常广泛。直观而言,我们考察曲面上的切向量场,如果这个向量场光滑得无以复加,那么这个向量场被称为是调和场(harmonic field)。 霍奇分解定理是说曲面上任意一个光滑切向量场,可以被唯一地分解为三个向量场:梯度场、散度场和调和 ...
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