科学网—CurvatureFlow的博文

清华笔记：计算共形几何讲义（19）离散曲面曲率流（Discrete Surface Ricci Flow ) I

顾险峰 2019-10-8 11:11

【上课时间：每周二和周四上午9:50-11:20AM；地点：清华大学，近春园西楼三楼报告厅。欢迎任何有兴趣的朋友，前来旁听指导。】图1. 曲面单值化定理：所有带度量的封闭曲面都可以保角地映到三种标准空间中的一种：球面，欧氏平面，双曲平面。连续曲面Ricci流图2. 黎 ...

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清华笔记：计算共形几何讲义（18）拟共形映射（Quasi-Conformal Map）

热度 1 顾险峰 2019-9-25 11:09

图1. 曲面注册问题的描述。图2. 曲面间的拟共形映射。左帧曲面的每一个小圆盘区域都映射到右侧椭圆盘区域。椭圆域的偏心率和方向给出了Beltrami系数，Beltrami系数决定了映射。拟共形映射图3. 共形映射。图4. 拟共形映射。图5. Beltrami系数的几何意 ...

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清华笔记：计算共形几何讲义（17）全纯二次微分（holomorphic quadratic differential）

顾险峰 2019-9-23 13:59

【上课时间：每周二和周四上午9:50-11:20AM；地点：清华大学，近春园西楼三楼报告厅。欢迎任何有兴趣的朋友，前来旁听指导。】上次课程，我们讲解了调和映照的理论框架。这次课程，我们应用从度量曲面到带度量的图的调和映照来计算全纯二次微分。全纯二次微分和曲面上的叶状结构和曲面间拟共形映射具有紧密的联 ...

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清华笔记：计算共形几何讲义（16）拓扑球面的调和映照

顾险峰 2019-9-11 16:52

【上课时间：每周二和周四上午9:50-11:20AM；地点：清华大学，近春园西楼三楼报告厅。欢迎任何有兴趣的朋友，前来旁听指导。】上次课程，我们讲解了拓扑圆盘间的调和映照。这次，我们讨论拓扑球面间的调和映照。图1. 共形脑图。拓扑球面间的调和映照在医学图像领域被频繁使用，特别是构造大脑皮层曲 ...

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清华笔记：计算共形几何讲义（15）拓扑圆盘的调和映照

热度 1 顾险峰 2019-9-10 12:27

图1. 从三维人脸曲面到平面圆盘的调和映照。【上课时间：每周二和周四上午9:50-11:20AM；地点：清华大学，近春园西楼三楼报告厅。欢迎任何有兴趣的朋友，前来旁听指导。】我们前面的课程介绍了亏格为0带边界曲面的典范共形映射，包括古典理论和基于全纯微分的计算方法。这里，我们着重介绍拓扑球面到标准球 ...

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清华笔记：计算共形几何讲义（14）共形模的计算

热度 1 顾险峰 2019-9-6 18:04

【上课时间：每周二和周四上午9:50-11:20AM；地点：清华大学，近春园西楼三楼报告厅。欢迎任何有兴趣的朋友，前来旁听指导。】我们前面详尽地介绍了各种拓扑曲面共形不变量（共形模）的概念和理论，极值长度，狭缝映射，圆域映射，黎曼映照，Teichmuller空间等等。这些都是经典的共形几何的理论，由历史上知 ...

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清华笔记：计算共形几何讲义（13）Koebe 迭代收敛性

热度 1 顾险峰 2019-9-4 12:17

【上课时间：每周二和周四上午9:50-11:20AM；地点：清华大学，近春园西楼三楼报告厅。欢迎任何有兴趣的朋友，前来旁听指导。】图1. 亏格为0、带有多个边界的曲面到平面圆域（Circle Domain）的共形映射。这节课我们讲解亏格为零、带有多个边界曲面的共形模（conformal module）。如图1所示，带有多个洞 ...

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清华笔记：计算共形几何讲义（12）极值长度

热度 1 顾险峰 2019-8-29 07:23

图1. 圆柱面的共形模。拓扑等价的度量曲面是否共形等价，亦即拓扑同胚的带有黎曼度量的曲面间是否存在保角双射，这是一个微妙的问题。几何上，我们需要寻找共形变换下的全系不变量，通过比较不变量，我们可以判断曲面是否共形等价。如果曲面是拓扑圆盘，边界上选取四个角点，则曲面被称为是拓扑四边形。拓扑 ...

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清华笔记：计算共形几何讲义（11）黎曼映照（Riemann Mapping）的存在性

热度 1 顾险峰 2019-5-23 09:28

共形几何中最为大家所熟识的定理大概非黎曼映照莫属，其证明方法也是丰富多彩，各有千秋。这里，我们回忆一下经典的复分析手法，朴素初等，但是非常具有代表性。在复分析中，标准共形映射的存在性证明，一般都遵循如下的方法：首先定义一个全纯函数的正规族，然后考察函数的Taylor（或者Laurent）级数展开， ...

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清华笔记：计算共形几何讲义（10）纪念米尔扎哈尼——泰希米勒（Teichmuller）空间

顾险峰 2019-5-19 09:03

多年以前，我还在哈佛求学，导师丘成桐先生叮嘱我要研究柯蒂斯. 麦克马伦(Curtis McMullen)的理论，McMullen用组合的方法来研究共形结构，非常适合计算。丘先生自己也在哈佛的研究生课程上讲解这个理论。多少年来，我和合作者、学生们一直致力于探索这一方向，例如我们前不久基于全纯二次微分的计算曲面叶状结构（ ...

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