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清华笔记:计算共形几何讲义 (23)离散曲面曲率流 (Discrete Surface Ricci Flow)V
热度 2 2019-11-15 11:44
前面我们介绍了离散曲面的曲率流理论,曲面上配备着欧氏度量带有奇异点。这次,我们介绍双曲离散曲面的曲率流理论。对于欧拉示性数为负的曲面,其单值化度量自然是双曲度量。双曲度量具有非常多的优点,因此在工程实践中起到了非常根本的作用。 例如双曲度量下,每个曲线同伦类中存在唯一的测地线,两条封闭曲线同伦当 ...
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清华笔记:计算共形几何讲义 (22)离散曲面曲率流 (Discrete Surface Ricci Flow)IV
热度 1 2019-11-9 13:46
设计黎曼度量又是计算机图形学、计算机视觉、计算力学、医学图像等领域最为基本的问题之一。许多工程中的关键问题可以归结为设计一种特殊的黎曼度量。离散曲面Ricci流是通过曲率来设计黎曼度量的有力武器。迄今为止,这是唯一的一种方法,既有严密的理论基础,又有高效稳定的算法。 在前述章节中,我们证明了离散曲面曲率 ...
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清华笔记:计算共形几何讲义 (21)离散曲面曲率流 (Discrete Surface Ricci Flow)III
2019-10-25 14:08
以前章节,我们介绍了曲面曲率流的一种离散形式-离散Yamabe流,主要操作是顶点缩放(Vertex Scaling)来共形变换度量来实现目标曲率。在实践中,往往多面体曲面的三角剖分是固定的。如果给定一些较为极端的目标曲率,有可能离散曲率流会出现爆破情况(blowup),就是在有限时间内某个三角形退化(degenerated),离散 ...
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清华笔记:计算共形几何讲义 (20)离散曲面曲率流 (Discrete Surface Ricci Flow)II
热度 2 2019-10-18 15:35
为了证明离散曲率流解的存在性,我们需要一些较为独特的数学工具,特别是双曲几何的理论知识。这次课程,我们讲解简单的双曲几何知识,特别是如何将一个带有锥奇异点的平直度量变换成完备双曲度量带有尖点,和Decorated双曲度量。然后,我们用双曲几何来解释离散熵能量。 平面双曲几何 ...
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清华笔记:计算共形几何讲义 (19)离散曲面曲率流 (Discrete Surface Ricci Flow ) I
2019-10-8 11:11
【上课时间:每周二和周四上午9:50-11:20AM;地点:清华大学,近春园西楼三楼报告厅。欢迎任何有兴趣的朋友,前来旁听指导。】 图1. 曲面单值化定理:所有带度量的封闭曲面都可以保角地映到三种标准空间中的一种:球面,欧氏平面,双曲平面。 连续曲面Ricci流 图2. 黎 ...
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清华笔记:计算共形几何讲义 (18)拟共形映射(Quasi-Conformal Map)
热度 1 2019-9-25 11:09
图1. 曲面注册问题的描述。 图2. 曲面间的拟共形映射。左帧曲面的每一个小圆盘区域都映射到右侧椭圆盘区域。椭圆域的偏心率和方向给出了Beltrami系数,Beltrami系数决定了映射。 拟共形映射 图3. 共形映射。 图4. 拟共形映射。 图5. Beltrami系数的几何意 ...
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清华笔记:计算共形几何讲义 (17)全纯二次微分(holomorphic quadratic differential)
2019-9-23 13:59
【上课时间:每周二和周四上午9:50-11:20AM;地点:清华大学,近春园西楼三楼报告厅。欢迎任何 有兴趣的朋友 ,前来旁听指导。】 上次课程,我们讲解了调和映照的理论框架。这次课程,我们应用从度量曲面到带度量的图的调和映照来计算全纯二次微分。全纯二次微分和曲面上的叶状结构和曲面间拟共形映射具有紧密的联 ...
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清华笔记:计算共形几何讲义 (16)拓扑球面的调和映照
2019-9-11 16:52
【上课时间:每周二和周四上午9:50-11:20AM;地点:清华大学,近春园西楼三楼报告厅。欢迎任何有兴趣的朋友,前来旁听指导。】 上次课程,我们讲解了拓扑圆盘间的调和映照。这次,我们讨论拓扑球面间的调和映照。 图1. 共形脑图。 拓扑球面间的调和映照在医学图像领域被频繁使用,特别是构造大脑皮层曲 ...
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清华笔记:计算共形几何讲义 (15)拓扑圆盘的调和映照
热度 1 2019-9-10 12:27
图1. 从三维人脸曲面到平面圆盘的调和映照。 【上课时间:每周二和周四上午9:50-11:20AM;地点:清华大学,近春园西楼三楼报告厅。欢迎任何有兴趣的朋友,前来旁听指导。】 我们前面的课程介绍了亏格为0带边界曲面的典范共形映射,包括古典理论和基于全纯微分的计算方法。这里,我们着重介绍拓扑球面到标准球 ...
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清华笔记:计算共形几何讲义 (14)共形模的计算
热度 1 2019-9-6 18:04
【上课时间:每周二和周四上午9:50-11:20AM;地点:清华大学,近春园西楼三楼报告厅。欢迎任何有兴趣的朋友,前来旁听指导。】 我们前面详尽地介绍了各种拓扑曲面共形不变量(共形模)的概念和理论,极值长度,狭缝映射,圆域映射,黎曼映照,Teichmuller空间等等。这些都是经典的共形几何的理论,由历史上知 ...
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GMT+8, 2020-5-25 07:39

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