保罗.狄拉克(Paul Dirac)博士曾任英国剑桥大学的卢卡斯数学讲席教授(Lucasian Chair of Mathematics )，是著名的理论物理学家，量子力学的奠基人之一，并且开启了量子电动力学的研究。狄拉克成就的巅峰是提出了描述费米子的相对论量子力学方程-狄拉克方程(Dirac Equation), 并纯粹由数学方程预言了反电子的存在，这是在物理学里首次引入反物质的观念。狄拉克方程无疑是物理学史上最美且重要的方程之一。狄拉克方程的研究也体现了狄拉克博士“美即是真”的研究观念，这一观念前有爱因斯坦的广义相对论(General Theory of Relativity)，后有杨振宁的非阿贝尔规范场论(Non-Abelian Gauge Field Theory)，可谓承前启后。

狄拉克博士大学时期就读电子工程专业，其后开始于广义相对论研究，而大成于量子力学研究。其研究风格被杨振宁先生形容为“秋水文章不染尘”。杨先生的意思是说读了狄拉克的论文后，就会发现这个方向的战场已经被狄拉克处理的清清楚楚，打扫的干干净净，没什么好做的了。当年狄拉克在剑桥聆听了矩阵力学的演讲后，于一次长途漫步想出了量子力学理论与经典力学泊松括号之间的对应，一举将量子力学形式化。量子力学的诞生地哥廷根学派，海森堡和玻恩，在读了狄拉克的论文后，发现没什么好做的了，最好是改变研究方向，足见狄拉克论文的力量之大。

狄拉克曾经评论其电子工程的背景使其可以勇敢地发明和使用一些在理论物理里强大的数学方法，而先不去理会数学上的合法性。最为有名的一个例子是狄拉克的delta函数，在物理的众多方向里已经被广为引用，却被数学家一度怀疑其函数的合理性。本文略谈狄拉克博士的这个怪函数。

狄拉克delta函数是在研究量子力学的连续谱问题时提出的。量子力学里可观测物理量写成了算符，而可观测量的取值由算符在不同本征态的本征值给出，本征值定义了物理量观测的本征谱。本征谱有分立和连续两种情形，相应本征态的(位置空间)归一化(或完备化)则由狄拉克delta函数定义，即：

其中，, 是本征态在位置空间投影出的波函数。依赖于本征谱的性质，归一化(1)式的对于分立谱和连续谱分别表现为求和与积分。

考虑自由粒子情形，其动量算符有连续本征谱，本征态波函数是：，这里已取普朗克常数,因而有相应本征值动量. 将动量波函数代入(1)式有：

此式即数学物理中常用的狄拉克delta函数之积分表示。易见：.

下边我们考虑物理量在位置空间和动量空间之间的变换。考虑物理量算符, 其本征方程：, 本征态的位置空间和动量空间函数分别变现为：,

. 利用动量本征态的归一化：. 写出：

此式即数学物理中函数的傅里叶变换。若从 出发，利用位置本征态的归一化，则得：

即傅里叶变换的逆变换。

将(4)代入(3)，并利用(2)，可得出：

这是狄拉克delta函数的一个基本性质。若取, 则得出：, 积分为1说明狄拉克delta函数是一个广义的分布函数。

让我们再次考虑狄拉克delta函数的积分表示(2). 习惯起见，我们将(2)改写为：,即位置本征态在动量空间的归一化。利用周期性函数(周期L)傅里叶级数情形下的公式：. 取极限, 我们得到：. 此式定义了狄拉克delta函数的局域形式：

该式出现了无穷大，数学上体现的正是狄拉克delta函数所定义的无衰减振荡型积分的发散性，物理上反映了理想谐振子的共振发散，或者是无关联白噪声的频谱分析。这种发散性是狄拉克delta函数被数学家诟病的地方，而(5)式定义的狄拉克delta函数的整体积分性质是其作为广义分布函数而被合理化的解决出路。

由局域形式(6)定义的狄拉克delta分布函数是一种“点源”分布，即物理量分布于空间确定的一点，在物理学里，这是一种抽象化定义，例如点电荷（电荷分布），质点（质量分布）。在数学物理中，通过微分方程，点源分布定义了物理量传播的格林函数：

利用(5)式，可以发现，对于任意一种分布g(x), 其微分方程有解：. 在静电学和牛顿力学里，此式分别给出了静电作用的库仑定律和引力作用的牛顿引力定律，其格林函数均为拉普拉斯算符的传播核。

含时格林函数将零时刻的点源分布随时间传播成随后的分布函数。形式上，我们可以写成：

这里，我们用扩散方程进行分布函数的演化。若取自由空间的点分布演化，则有：

此即点源自由空间演化出的高斯分布，易得：,该标度率说明了该扩散为（一维空间）布朗运动(Brownian Motion)。

在零时刻格林函数退化为狄拉克delta函数，因此：

此式告诉我们狄拉克delta函数可以作为高斯分布函数的极限得出。考虑到， 若定义分布的方差, 则我们一般性写出该种分布函数的极限表示。定义平均位置在x', 方差为高斯分布：

则有：

因此，局域形式的狄拉克delta函数在物理上经常可以作为高斯分布函数的极限处理。

由傅里叶变换可知，高斯分布(11)的傅里叶变换仍是高斯分布，并且在位置和动量空间的方差满足：此即随机量在对偶空间分布满足的不确定性关系。在量子力学的情形，(11)定义的是波函数几率幅，其模平方得到几率分布，因而得到几率分布在位置和动量空间满足的海森堡不确定性关系：, 这里我们恢复了普朗克常数。

从不确定性关系的角度，结合(12),可以看出狄拉克delta分布函数的特点：在位置空间分布完全确定于一点，则在动量空间呈完全不确定的平均分布，这正是白噪声的分布特点。若反之，有：

即取高斯分布的方差为无穷，对应位置空间的完全不确定，则其傅里叶变换得到动量空间是狄拉克delta函数，即在动量空间完全确定，满足不确定性原理。

狄拉克delta函数的另一种近似是通过洛伦兹分布的极限得到。我们知道：

该式称为Sokhotski-Plemelj公式。同时：

对比两式，得到：

此式是狄拉克delta函数作为洛伦兹分布的极限表示，其中是分布的半高宽度。

另一种常用的极限由衰减谐振子给出，在狄拉克delta函数的积分定义中引入k积分的截断，容易得到：

狄拉克delta函数广泛出现于物理研究之中，例如在统计物理模型研究中，常常用delta函数来描述自由度之间的短程相互作用。由于delta函数的局域发散性，这会带来统计模型的紫外发散，对这些发散性的处理常常是很有趣的题目，例如引入非局域极限，或者是高维空间。

文件：狄拉克博士的怪函数.pdf