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高分子统计物理漫谈 - Fokker-Planck 方程 - 薛定谔方程

已有 14437 次阅读 2019-8-7 20:23 |个人分类:专业科普|系统分类:科普集锦| 统计物理, 高分子物理

    Fokker-Planck方程是研究涨落(Fluctuation)现象的重要方程和方法。由于涨落现象在自然界的普遍存在,该方程有从物理,化学,生物,乃至工程学的广泛应用。


    Fokker-Planck方程最早见于处理布朗运动问题(Brownian motion)。宏观的花粉粒子(宏观小微观大)放置于水中时,经历热运动水分子(微观)的随机碰撞,导致花粉粒子的位置不确定。描述该不确定的花粉粒子位置分布函数满足一个微分方程,即Fokker-Planck方程。


    本文中:1. 我们基于流守恒(current conservation)给出Fokker-Planck方程的一个快速推导;2. 我们指出Fokker-Planck算符的非厄米性,并通过变量代换将Fokker-Planck方程转化成(虚时)薛定谔(Schrodinger)方程。


1. 推导

    写下涨落问题的流矢量,这是一个具有时空分量的4-矢量: j=(j0,ji), 这里,时间分量: j0=P(x,t), 是该涨落问题的概率分布函数。空间分量是熟悉的空间流3-矢量: ji, i=1,2,3.


流守恒:                  (1)

    本问题中,3-矢量j有两部分贡献:外力贡献的drift项和微观随机涨落贡献的diffusion项。为了简化记号,下边我们考虑1维情况,即i=1=x.

Drift项:                             (2)

这里, \Gamma 和 U 分别是 mobility 系数(矩阵)和外势能。

Diffusion项:                               (3)

这里,D是扩散系数,该方程即Fick定理。

    由(1)-(3),我们得到P(x,t)满足的Fokker-Planck方程:

                            (4)

要求无穷远时间后,P趋向定态,于是:

                                          (5)

物理要求该分布是玻尔兹曼分布,因此有:

                                                         (6)

    这是爱因斯坦关系,涨落耗散定理的一种简单形式。物理上很清楚,涨落和耗散都来自于微观自由度的随机运动,因此必然是联系的,进而,因为是热涨落,所有必然出现温度T.


    Fokker-Planck方程的第一项drift速度项是随机微分方程 (Stochastic Differential Equation) 郎之万(Langevin)方程的drift项,而第二项diffusion项来自于郎之万方程的白噪声项。郎之万方程:

                                               (7)

白噪声f满足高斯分布,有:

                           (8)

    下边,我们把Fokker-Planck方程由单变量的(4)推广到一般多变量的形式:

                      (9)

这里的写法采用了爱因斯坦求和约定。


2. 从Fokker-Planck方程到Schrodinge方程

    仍然采用单变量形式。我们将方程(4)写成如下算符形式:

                                                         (10)

这里定义了Fokker-Planck算符L.简单计算可得:

                                         (11)

这里,方便起见,我们设\Gamma=1.我们注意到,由于一阶导数项\partial_x的存在,Fokker-Planck算符不是厄米(Hermite)算符。


    现在,我们通过变量代换消去L算符中的非厄米项。构建一个厄米算符。

定义:                                   (12)

其中,Ps(x) 是定态解。将定义(12)代入Fokker-Planck算符L, 我们得到:

                                                      (13)

这里的H算符:                            (14)

显然,H算符没有一阶非厄米项,是个厄米算符。此时,Fokker-Planck方程转化为:

                                                           (15)

这是一个(虚时)薛定谔方程。



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