涨落耗散定理是平衡态统计物理的一个极为重要的结果，该定理将一个统计力学体系的涨落关联与其对外界刺激的响应用一个干净的等式联系了起来。有了该定理，测量响应就可以获得平衡态体系的关联性质，反之亦然。如果取静态极限，涨落耗散定理就退化为线性响应定理，而线性响应定理提供了一个理解对称破缺体系的结构与刚性的基本框架。我们将通过简单的例子对这些定理做一展示。

1. 线性响应定理

    现代物理学理论极大的依赖于线性模型，在许多情形，线性模型是一种对于真实世界的有效近似，可以得到许多有用的结果。

    线性模型又称为谐性近似(Harmonic Approximation)。顾名思义，在这些模型里，原本复杂的运动模式被近似为一组独立运动的谐振子(Harmonic Oscillators).在操作意义下，这些谐振子对应的是将体系变形或者涨落的能量做高斯近似之后，系数矩阵的本征模式，而对应的本征值则构成这些谐振子模式的激发能量。

   考虑一个简单的谐振子。

（a）关联

    我们首先研究其平衡态涨落关联性质。记平衡位置为x₀,由于涨落，偏离平衡位置的位移记为△x=x-x₀。显然，该谐振子的涨落能量：E(△x)=(1/2)k△x²，这里，k是谐振子的弹性常数。由平衡态玻尔兹曼分布可知，涨落分布函数：P(△x)～exp[-E/k_BT]～exp[-k△x²/2k_BT],即高斯分布，或者叫正则分布。这里，k_B是玻尔兹曼常数。涨落关联C=<△x²>对应于该分布的方差。由高斯分布的知识立刻知道：C=k_BT/k.

    当然这一结果也可以由能量均分原理得出。能量均分原理说，平衡时，每一个自由度的能量是(1/2)k_BT.我们所考虑的谐振子是一个自由度，其平均能量为：(1/2)k<△x²>.因此：(1/2)k<△x²>=(1/2)k_BT。即得上式关联函数。

（b）响应

    现在我们研究该谐振子对外场的响应性质。施加外力f。外力场下谐振子能量修改为：

E(△x,f)=(1/2)k△x²+f△x,其中，第一项是未加外场时的能量，第二项是由于外场存在所生成的能量。

    在外场下，谐振子的平均位移是多少？力学里，这是由最小化能量导出的欧拉-拉格朗日(Euler-Lagrange)方程所决定的。因此能量对位移求导可得：k<△x>=-f.取绝对值大小：k<△x>=f,进一步写成<△x>=k^-1f.立即可以看出，平均位移对于外力的响应性质由系数k^-1给出，即，响应函数χ=k^-1。（由于这里考虑的是整体响应，没有局域效应，因此响应函数体现为一个常数。）

    将关联函数和响应函数做对比，立刻得出：χ=C/k_BT.此结果即线性响应理论，将外场响应函数χ与涨落关联函数C联系了起来。

（c）刚性

    现在我们进一步考虑刚性。考虑一个材料体系，经过对称破缺后形成了有序结构，考虑简单的一维情形，此时结构由周期L刻划。材料的刚性由弹性模量G描写。涨落引起应变：△x/L.对应的应力：G△x/L.因为应力是单位面积的力，所以力为：L²(G△x/L)=GL△x。在谐振子近似下知道力为：k△x,因此:k=GL，此式体现了响应与刚性的关系。因为χ=k^-1，所以χ=1/(GL).因此，G越大，χ越小。也就是说，弹性模量大的材料有小的外场响应。

    更加定量的分析。考虑一个有序结构，何时涨落可以破坏该结构？答案是当涨落位移比结构的周期还要大时。即：<△x²>≥L².考虑平衡条件：<△x²>=L²，由：C=<△x²>=k_BT/k，k=GL,得到：G=k_BT/L³.因此，对称破缺之前的无序相，由于L=∞,所以G=0,即无序（气）相没有刚性。随着对称破缺，周期L变成有限大小，材料逐步获得刚性。这里体现的是凝聚态物理中对称破缺导致有序和刚性的观念。如果引申一下，这对应的是量子场论中对称破缺产生粒子质量的观念。

    上式也可以写成：GL³=k_BT，这体现的是一个热激发单元的概念。如果已经知道一个材料的G,则可以由该公式得到一个有序化的特征长度尺度L.考虑一个尺度d,当d>L时，Gd³>k_BT,材料刚性所产生的弹性能量大于热能，材料有序，在该尺度对称破缺。反之，对于d<L,由于Gd³<k_BT,热能使得材料在小尺度下保持对称性。

    根据L的大小，可以对材料进行粗略的划分。L→∞,无序气相；L→a,硬材料，这里，a大约是原子间距；介于两者之间，对称性在较大尺度破缺，导致G较小，因此成为软材料，对应于聚合物，胶体，液晶等软物质物理的研究范围。