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统计力学中的二阶泰勒展开

已有 1263 次阅读 2018-5-1 10:06 |系统分类:教学心得| 统计力学

      刚刚读了科学网博主张江敏教授的最新博文《Laplace的矢量(守恒量)》(网址:http://blog.sciencenet.cn/blog-100379-1111681.html),其中谈到 Laplace 最初得到 Laplace-Runge-Lenz 矢量守恒的过程,最令人印象深刻的是仅用到守恒量作为动量各分量的函数的二阶泰勒展开式。不得不说,二阶泰勒展开是极为基本的数学近似,但是同时也是物理学中许多重大理论成果背后的数学支撑。类似的例子有许多,这里我也列举几个有名的例子,这些例子全部取自统计力学。

      第一个例子是统计力学中晶格振动模型。在将晶格原子间的相互作用势能展开到位移的二次型的近似下,德拜得出了绝缘晶体的低温定容热容,其理论结果与实验观测值高度一致。这是比较经典的一例。

      另一个例子是关于热力学涨落的分布函数,也称为斯摩鲁霍夫斯基公式。它完全是在将热力学系统的熵涨落展开到泰勒级数的二阶项的前提下推导出来的。除此之外,量子气体的状态函数在低温下的行为、昂萨格倒易关系的证明等都需要用到二阶泰勒展开。

      最后的例子涉及到另一位著名的物理学家,他就是列夫·朗道。许多学生了解朗道是通过他和栗弗席兹合著的一系列理论物理教程。然而朗道最重要的学术贡献显然不止于写出了一系列的教程,而是在基础研究方面有卓越的贡献。在研究伊辛模型的二级相变时,朗道将该模型的自由能当作平均自旋磁矩的模方的函数,并且将这个函数展开到二阶,用这一简单的处理就轻而易举地建立了关于二级相变的平均场理论,这个理论至今仍被广泛使用。在另一项研究中,朗道把相互作用的费米系统的能量当作准粒子数密度的函数展开到二阶,并引入了绝热连续性假定,结果就得到了至今非常有效的朗道正常费米液体理论。

      一般而言,我们会倾向于认为理论物理是与数学最接近的自然科学。历史上最杰出的理论物理学家往往也是同一时代数学功底最好的物理学家,他们中间的代表人物有牛顿、麦克斯韦、吉布斯、爱因斯坦以及当代的爱德华·威腾。单说这个威腾,作为理论物理界的领军人物,却得到了数学界的最高奖——菲尔兹奖。他的许多论文都是长篇巨作,并且数学味道很浓,所以我私下里叫他“胃疼”,意为他每发一篇文章都会令同行胃疼几天(要下苦功去追读啊)。但是朗道好像是理论物理学家中一个极端例外的情况。没有信息表明朗道的数学功底有多么好(或者坏),但是朗道的研究往往不会使用太高深的数学。就是一个二阶泰勒展开,朗道就玩出了一个二级相变理论、一个正常费米液体理论。恐怕在整个理论物理学界很难再有谁有这个本事了。




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