赛义甫的个人博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/saif 逻辑学、数学、计算科学、语言学和哲学——关于形式科学的思考

博文

逻辑学到底是什么——历史观(一)

已有 598 次阅读 2017-9-27 16:31 |个人分类:逻辑学|系统分类:科研笔记|关键词:逻辑学 历史观 莱布尼茨 布尔 弗雷格 数学基础 元数学 数理逻辑

逻辑学到底是什么——历史观(一)

逻辑学——退去一切形容词:数理的、普通的、内涵的、模态的……等等一切令一般人摸不着头脑的形容词——逻辑学到底是什么?这是个看似简单、“人人都有答案但人人答案都不相同”的问题。为什么?因为“逻辑”不等于“逻辑学”,每个人都可以有自己独特的“逻辑”——思维方式、人生观,对同一问题的思考方式不可能完全相同,有多少人口就有可能有多少“一家之言”,也就有多少种“逻辑”。而逻辑学则是一门专门的学问,它研究的是,一个理想化的人是如何进行推理做出判断的,如何对给定的推理过程做出评估。而评估的基准之一就是——有效性。所谓有效性,说白了就是:你的判断、推理是否“合理”?合什么理?合的就是“有效性”的理,有效的就是合理的,无效的就是不合理的。不过本文不打算继续做这种“文字游戏”,在这些抽象的概念群中来回踱步,而是换一个角度——历史的角度,从逻辑学的发展脉络理解“逻辑学到底是什么”这个看似简单但很不容易回答的问题。

胡适先生曾经说过,“历史是一个任人打扮的小女孩”(现在有人质疑这句话是否出自胡适之口),意思是谈历史毕竟靠不住;丁肇中先生也说过类似的话:“因为我有一种感觉,(在历史中)很难找到真理,因为中国历朝历代一换朝,第一件事情就是修改历史”。因此这里所谓谈历史,第一不讲故事,第二没有名人八卦,只谈和现在的逻辑相比,某朝某代当时的逻辑是什么样。第三,我这里所谓的“逻辑学”,就是粗通逻辑学的人都知道的“一阶谓词逻辑”,不过更确切的表达应当是:一阶逻辑。尽管现在的人都爱说“数理逻辑”,以示高大上、白富美,但个人愚见,无论什么逻辑学,其根基仍然是亚氏逻辑,其它所有带形容词的逻辑,都脱胎于这个逻辑。在这个问题上,德国哲学家伊曼努尔·康德说得很公道:逻辑学从亚里士多德开始到了他那个时代,“无论从任何角度都是自足的、完整的学问”,换句话说就是,逻辑的发展已经到头了,后人没有什么再可添加的了。说到这里肯定有人出来抬杠,现代数理逻辑那么高大上,怎么能说逻辑发展到头了?这里唯一能够回答的就是——如果我出了道题,你接着往下做,我承认你做得比我好,但无论你多好,多先进,题仍然是我出的。亚里士多德出了道逻辑题,几千年来人们一直在做,当然我们现在比古人做得好多了,但不得不承认,逻辑学这道题仍然是古人留下来的题。这里的重点是——逻辑学作为一门学问体系,不管它戴了多少顶帽子,从来没有离开过它的主题——研究、评估推理判断。

那为什么现代逻辑——那些加了形容词的逻辑让人觉得太耀眼以至于是多数人不敢走近呢?这就是这篇小文要谈论的主题:逻辑学是如何变成今天这个模样的。

上篇《认识逻辑应当从哪里开始》曾提到,逻辑学的核心内容就是推理判断。现在稍微展开一下谈谈。当一个人对一件事情开始做决策时,总是要根据已知的知识来推断未知的状况:我要不要跳槽?我要不要买进/卖出这只股票?等等。中国古人讲要三思而后行,这个“思”,我的理解就是要做缜密的推理,得到合理的判断后再付诸于行动,这是人类的普遍的思考模式。如果把这种模式抽象化,不考虑每次推理的具体内容,不考虑每次推理所使用的具体语言表达方式,而把这种推理的“格式”抽象出来,然后研究如何使用一种通用的“格式”使我每次做推理判断是总是“合理”的,那么,这种推理的“格式”就是逻辑学研究的基本内容。当年的亚里士多德曾经总结了24种推理模式,作为“合理”推理判断的“格式”,这些“格式”一直存留了2000多年而几乎没有变化。亚氏逻辑的基本特点就是:所有推理格式都是依着某种人类思维的习惯,按照人类理解的常识,然后用自然语言的句子表述出来。因此,这种逻辑很容易被归类为“文科”、或“人文科学”、或者说,哲学。因为哲学就是要讲“大道理”,要讲“大道理”就要有条理,要想有条理就必须有规矩,这个“规矩”就是逻辑学的推理模式,具体说就是亚氏总结的那24种模式,几千年来一直如此。

到了17世纪末,出了个“异人”——莱布尼茨(大名鼎鼎、如雷贯耳,不必多言)。之所以说是“异人”,是说在此氏看来,逻辑学可以从两个视角看待:第一,一个空架子——推理公式;就像a+b=c一样,在赋予a、b、c具体值之前,谁也不知道这个式子是什么意思——除了表示一种运算关系。第二,采用这种格式的推理所谈论的内容——虽然推理格式相同,但毕竟我们学了逻辑并不是仅仅要知道“所有人都要死”、“苏格拉底是人”、“所以苏格拉底要死”,而是要用来干点实事。在中世纪逻辑学的一个重要使命就是要证明上帝存在,这是当时经院哲学的神圣使命之一。所以莱布尼茨的第一思路就是让逻辑学干一些除了证明上帝存在之外更有意义的事情。什么事情?莱氏本人对法律数学都感兴趣,所以试着将逻辑的推理模式运用到法律和数学就是莱氏毕生寻求的目标。不过遗憾的是,莱布尼茨的研究是片段的,不完整的,没有形成体系,但是其思想代表了后世现代逻辑的基本方向。20世纪初研究莱布尼茨的权威学者Louis Couturat《La Logique de Leibniz》(《莱布尼茨的逻辑学》)中归纳了莱布尼兹心目中的逻辑学包括了如下内容:
1. 亚氏逻辑的三段论(La Syllogistique)
2. 组合学(La Combinatoire)
3. 普遍语言(Langue Universelle)
4. 普遍特征(La Caractéristique Universelle)
5. 百科全书(L'Encyclopédie)
6. 一般科学(La Science Générale)
7. 数学(La Mathématique Universelle)
8. 逻辑演算(Le Calcul Logique)
9. 几何演算(Le Calcul  Géométrique)
这些内容,从现代的角度看,除了亚氏逻辑的三段论和欧氏几何所采用的公理演绎系统之外其它都是新的,其中最重要的有三点:第一、逻辑学应当被定义为表达概念的语言,而且不仅仅是表述神学、哲学的标准语言,还应当是包括数学、一般科学和百科知识、所有人类精神的普遍语言;第二,逻辑学的实质是数学思想,故其表述形式,应当更加抽象。推理模式,传统的逻辑推理判断的“格式”,应当用一种类似数学公式的形式固化下来,这种公式化、符号化推理模式称作“演算”——由一组推理公式组成,每个公式都应当是包含一个基本的、已定义的“动词”的断言(命题为真的句子),这个断言的格式可以用一个抽象符号表示,使得逻辑推理完全成为概念符号的推演游戏——这样的抽象符号、抽象符号组合就构成了一个概念语言——普遍语言;用这种语言可以表达任何科学命题,用这种语言可以脱离任何自然语言的模糊性(包括莱布尼茨当时使用的拉丁语),人们可以没有歧义地表达任何科学思想。
最难能可贵的是,莱布尼茨第一次看到了逻辑学和数学中的相似性:形式化、抽象化和精确性。
莱布尼茨在给Gabrei Wagner(德国哲学家)的信中曾经谈到亚氏逻辑的推理模式:
“亚里士多德将这些公式变成了精确的法则,这是史上第一人在数学之外用数学的思想写作,这当然不是微不足道的事情。但是,亚氏只是个开始,只是ABC,因为还有更复杂、更困难的公式,例如像欧几里得的推理公式,这些,只有当借助这些公式中首位的和较容易的来确认之后才可使用。这一点对代数和其他许多原始的但是完美的证明同样成立。... 在所有精确(unfailing)科学中,如果一切可以严格证明,那么,来自亚氏的公式或者其它就可以被包含进一套更高层的逻辑公式中。
我坚信推理的技巧还可以进一步创新性地发展,而且我相信我可以看到并对这种推理做做某种预测,有此能力我靠的是数学。尽管我在我的数学水准还不是很高的时候就已经发现了某些基础性的东西,但最终感到如果没有数学的帮助,找到前进的路径将会是多么崎岖和艰难。在我看来,现在在这个领域所取得的是一个伟大超前的思想,如此之超前,以至于在我拿出真实的例证之前没人会相信。”
第三、如果有了演算以及由演算构成的(逻辑推理模式的)普遍语言,我们就可以用这种抽象符号的语言解决任何自然科学和人文科学的问题。莱布尼茨的设想是,在建立了这套“普遍语言”之后,就可以确定一个“演算推理器”(Calculus Ratiocinator),检查用这个语言一系列推理的有效性。这样,任何意见分歧,在这个乐观的哲学家看来,只要借助“演算”的手段就可以解决。“那么,一旦发生分歧”,莱布尼茨写道,“哲学家们再无必要争论,他们只需手里拿着一支笔,坐在‘计算器’旁,互相说:‘开始演算吧!’(Calculemus!)”。莱布尼茨认为,所有能够通过逻辑推理得到的真理,包括表面上看是偶然的真理,都隐含着必然,因此原则上都可以通过演算(将逻辑推理机械化)的方式得到。莱布尼茨对逻辑学的规划归纳起来就是《数理逻辑发展的基本动机》中所提出的两大梦想:一、实现一种“普遍的语言”,二、用这种语言解决所有可以用该语言定义的问题。
这些思想不能是说不是革命性的,从当时人类的认知水平甚至可以说是“匪夷所思”的,但不得不承认,所有这些不过是对亚氏理论的扩展、抽象化、精确化而已。基本核心仍然是亚氏逻辑的那些推理模式扩大版。
关于莱布尼茨最后要说的就是,现代人往往对莱氏是否开创现代逻辑争论不休;的确,如果从现代意义上的论文发表制度来讲莱氏并没有正式发表关于逻辑学的论文,也没有建立系统的逻辑体系;但是,后来对莱氏的研究表明,在没有发表的莱氏手稿中发现了大量关于逻辑体系片段论述,只是莱氏本人认为还不成熟一直秘而不宣。现代有人基于这些未发表的手稿试着重建莱氏逻辑体系[1]。

如果说逻辑学在莱布尼茨手里仅仅是经历一次数学式的梦幻旅行,那么第一次使这个梦想成真的就是英国数学家乔治·布尔。布尔第一次使得逻辑学脱离了原本的推理判断格式的研究路线,脱离了逻辑学原本作为哲学工具的使命,而仅仅作为一种抽象符号——运算符号的研究,这个研究和当时的代数别无二致——只研究运算的形式——布尔将其称之为“符号代数”。由于符号的使用,逻辑推理的模式可以在一个抽象的框架中重新定义,这使得亚氏逻辑中推理的模式从24个一下子成为近乎无限。
我们知道,代数和算术重大区别就是抽象性——运算抽象形式;布尔将逻辑学中的命题抽象为类似代数符号一样的无意义实体,专注于符号与符号之间的运算关系,这些运算关系就是由逻辑连接符“与”、“或”、“非”所定义的逻辑表达式。在布尔看来,抽去逻辑推理中的内容,将所有元素符号化,我们真正研究的是那些连接词的意义,这就像我们研究“+”和“x”一样。布尔写道:“对我来说,逻辑学可以看做是对思想量化的指标,也可以看做是另一种更深的关系体系的研究。从外部可以把逻辑学和数字、空间、时间相关联,从内部,逻辑学遵守思想法则的秩序。从布尔开始,逻辑学的研究开始和符号打交道,逻辑学被重新定义为代数系统的一种,从此逻辑,不再是冗长的哲学说教,而成为少数数学菁英才懂得的概念符号集合。但是尽管如此,布尔代数的基本思想仍然是亚氏逻辑的发展,这一点,布尔在其《思想法则的研究》一书中有过突出的论述。

可以说,布尔逻辑代数的出现,是现代逻辑学和古典逻辑学的分水岭,这个“岭”,就是符号的使用。而我们知道,初等代数和算术的区别就是用符号代替了具体的四则算式,因此符号逻辑与传统逻辑的关系,大致上等于代数与算术的关系——它将自古以来用各种自然语言表述的逻辑推理模式(schema)转化为纯粹的符号操作。从此,逻辑学不再仅仅是传统文科中作为三艺的人文教养之一(另外两个是语法和修辞),而成为一种崭新的代数结构。但其背后的基本思想仍然是传统亚氏逻辑的推理法则,布尔的符号逻辑并没有改变传统逻辑学的实质——对推理判断评估的研究,只是这种研究被完全的符号化了,现代的术语叫做形式化了。

逻辑学真正革命性的发展是弗雷格的一阶谓词逻辑的出现,其特点是使得逻辑学的使命开始发生变化——逻辑语言应当是表述数学思想——这个思想第一次由莱布尼茨提出——具体地说表达数学中最基本的算术运算的概念语言。换句话说,逻辑学做了几千年哲学的仆人,现在它应当成为表述数学——算术语言的工具。那么为什么要用逻辑学表述算术,它的意义在哪里,我们将在下一篇文中探讨。在这里,只勾勒出现代逻辑发展的几个重大线索:
现代逻辑学,从源流上来说有两大主线:第一条主线,我们一直在谈论的逻辑学中心内容——推理判断,尽管到了现代,推理的工具被符号——逻辑代数所取代——我们称之为形式推理,但是逻辑学的基本使命没有发生改变;第二主线,是迄今为止我们还没有谈到的分析学发展,这是由微积分发明所引发的数学革命,它导致了现代分析学的诞生,以及以无穷作为基本概念的集合论的出现。这两条线索,在19世纪下半叶到20世纪初,开始完全有机地融合在一起,在这个过程中产生了一个最激动人心的学科——数学基础,对数学基础的形式化表述,称作“元数学”,亦即、希尔伯特所定义的将数学的形式化推理过程本身作为数学研究的一部分,而对“元数学”的形式化工具则是数理逻辑和公理集合论。而数学基础作为一个当时数学家们追求目标的基本动机则是数学危机的出现——被认为是最精密、最严格的数学出现了前后不一致、无法自圆其说的现象——史称“悖论”。而悖论本身是哲学性话题,当这些话题是以数学形式出现时,就出现了一门即新且老的学科——数学哲学——这个学科的第一个问题如此的“纯真”:什么是数?数应当是什么?数学基础问题、数理逻辑的基本问题都可以从这个问题开始。

[1] 德国数学家、逻辑学家Wolfgang Lenzen在其《Leibniz’s Logic》一文中,对重建莱氏逻辑做了重大尝试。此文发表在《Handbook of the History of Logic Volume 3 The Rise of Modern Logic: from Leibniz to Frege》



http://blog.sciencenet.cn/blog-2349385-1078014.html

上一篇:认识逻辑应当从哪里开始?
下一篇:语言学研究之浅见
收藏 分享 举报

2 马德义 刘钢

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (3 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备14006957 )

GMT+8, 2017-12-18 22:39

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007-2017 中国科学报社

返回顶部