数

中国科学院  力学研究所  吴中祥

                          提          要

具体分析：数是，从何而来？如何演变、发展？各种数，包括0、无穷大和无穷小，等特殊的“数”有何重要的实际意义？

关键词：各种数，演变发展，实际意义，

1．数从何而来？

数是从一切实际事物，及其所有的特性和运动规律，都必有的“数量”和“顺序”，抽象出来的特性。

 数本身有它本身的各种特性和变化、演变规律。

 从而产生出各种不同的数，又都有它们本身的各种特性和变化、演变规律。

   各种数的这些特性和规律，就都决定了相应的一切实际事物，及其所有的特性和运动规律，都有的数量和顺序，的特性和规律。

   研究任何实际事物的特性和规律，就都需研究与其彼此相互依存、协调一致的，相应数的相应特性和规律。

2．数的基本特性

数最基本的特性是可数性、可列性。

数是从一切事物中抽象出来的，它的可数性、可列性也正是联系到各种事物本身的可数性、可列性。

任何事物是否可数？就必须具有如下两个基本条件：

(1)它们必须是同类的事物。

(2)必须确定同一的单位。

当然，有时也可将某些事物，甚至是不同类的事物，组配成“套”、“团”或“堆”，作为“单位”，这类成“套”、“团”或“堆”的相应事物，就也按此“单位”而可数了。

(3)各种数本身却又是与事物的种类、性质、单位都无关

既已抽象为数之后，各种数本身就与事物的种类、性质、单位都无关，它们所表达的事物种类、性质、单位等等都需另外注明。

任何事物怎样才是可列的？

只有该事物是可数的，而且确定了它们的排列顺序的基本类别，例如：数值、体积、重量、大小，先后、高低、好坏，等等之后，才是可列的。

对于数本身，一般就只是分别对同类的数，相同的单位，按数值大小的排列顺序，才是可列的。

对于不同类的数，甚至某类不同单位的数，也是不可列的。

当然，全部实数或虚数，因可分别按同一的单位，确定其相应各数大小的顺序，而在，整个实数轴或虚数轴上可列了。

3. 各种数的产生和发展

(1)   从1到自然数、到包括无穷大和最大的正整数、到正和负的整数

只要有了“单位”，就有了“1”。

从“1” 开始，按加法，逐个增加“1”，只要仍是有限的，就产生了，各个“自然数”，即可按其顺序，表达其数值为：1、2、3、…、n。

当继续不断地逐个增加“1”，无限地增加，就产生了“无穷大”，即：“要多大就有多大，但只要能继续增加，就不会有最大”，直到“不能再增”，就是，也才是，“最大”。

这样产生的“无穷大”和“最大”当然还是数，而且是“正整数”，但是，就已不是“自然数”。

由“正整数”的减法，逐个减少“1”，到同等大小的数相减，就产生了“0”。

被减数小于减数，就产生了各个“负整数”乃至“负无穷大”、“负最大”。

“0”，和这样，产生的各负数，也都是整数。

   而各种整数就有了正、负之分。

(2)大数的表达，进位制：

当数值很大时，就需要一个简便的表达方式，这就创造出各种进位制。即，将“m位”的“s进位”的数，n，表达为：

n=nj;j=m,m-1,…, 2,1；m=(n-(nj;j=m-1,m-2,…, 2,1的数串)/s)；的数串。

对于，通常采用的“10位制”，其各位数，nj;j=m,m-1,…, 2,1，都只是，9、8、7、6、5、4、3、2、1、0，这10个数中的一个。

   对于10进制，有n位的各整数可表达为：

nn[1,n]+n(n-1)[1(n-1)] +n(n-2)[1(n-2)]+…+n2[1,2]+n1,

其中，[1,j]=第j位数的单位1，它的数值是10^j；nj=第j位数的数值，它的数值只是： 0，1，2，…，或9。

但是，计算机因都是只能采用多个电子管的“开”与“关”2种选择的组合，来计数，而只能是以其各位数，都只是，1、0这2个数中的一个的“2位制”为基础的组合：“2^n+2^n'位制”，而“10位制”就由“2^3+2位制”表达。

(3)   从加法演变、发展出乘法、乘方、开方、指数、对数、无理数

可用字母表达数就产生了代数。

加法，每次，不仅只加 1 ，而可以加任何的数，a。

数 a连续加，b，次，就是：乘法：a 乘 b。

数 a连续自乘b，次，就是：乘方：a ^ b。

   数 a，就是：乘方，a ^ b=c 的c开b 方；也就是 c 的对数。

数 b，就是：乘方，a ^ b 的指数。

开方，而不能消除根号的，就产生了“无理数”。

(4)   奇数、偶数，及等差数列的产生

从 2 开始，按加法，逐个增加2，就产生，各个偶数，可顺序，表达

为：2n。不断逐个无限地增加2，就产生，无穷大偶数。

从 1 开始，按加法，逐个增加2，就产生，各个奇数，除1外，可顺

序，表达为：2n+1。不断逐个无限地增加2，就产生，无穷大奇数。

 它们，当然，也都是整数，而且，都是正整数。

      而且，有不是自然数的，无穷大偶数和无穷大奇数。

从首项P0开始，以步长s，逐次连续相加u次，得到的u+1个数，即pt=p0+st; t=0,1,2,…,u，的系列，就是：等差数列。

当首项P0与步长s，都是任意的整数，u就可以趋于无穷大，而得到无穷长等差数列。

      当首项P0为奇数，步长s，为偶数，则等差数列的各项都是奇数。u也可以趋于无穷大，而得到无穷长，无穷大末位数的奇数等差数列。

      当首项P0与步长s，都是偶数，则等差数列的各项都是偶数。u也可以趋于无穷大，而得到无穷长，无穷大末位数的偶数等差数列。

(5)除法,及其产生的分数、小数、合数、素数

由除法，其商不能得出整数的，就产生了“分数”。

被除数小于或大于除数，就产生了“真分数”或“带分数”。

按10进制，就产生了“小数”，其小于1的部分形成循环的，就是“循环小数”，无限循环的，就是“无限循环小数”。

有些“分数”可以等于相应的“小数”，有些“分数”只能趋近于但并不等于相应的“小数”。

可被或不可被“2”整除的整数，就也区分为“偶数”或“奇数”。

   任何数被1除，都=其自身，任何数被其自身除，都=1，

除“1”和其自身外，可被或不可被整除的整数，就区分为“合数”或“素数”。

素数不能简单地顺序表达并确定各素数数值，而出现一些有关的难题。

利用“小于某素数的所有素数都不能整除它”，的特性，本博客创建采用整数m，以顺序表达各素数 j(m) ，即：

j(m)/j(m-k); k=1,2,…,m-1,都不是整数，就可以表达并顺序，m，确定各素数的数值，j(m)。

这样，我们就知道：m=1，j(1)=2, 而m=2，j(2)=3, 就是奇数， m=和>2时，若取j(m)+1，就都能被2整除，而必然不是素数。因而，完全可以：对j(m)逐次+2，直到j(m)+2s时，(j(m)+2s)/j(m-k); k=0，1,2,…,m-1,都不是整数，而判定j(m)+2s是j(m+1)。

   如此，就完全可以按序数，m，列表，具体确定各个素数，j(m)，的数值，例如：

m    1  2  3 4  5  6 7  8  9  1011 12 13 14 15，…，无穷大

j(m)  2  3  5  7  11 13 17 19 23  29 31 37 41 43 47，…，j(无穷大)

直到m=无穷大，j(m)= j(无穷大)，即：无穷大素数。

   (6)“无穷小”，及相应的“无穷大”的产生，及其与有限数的相互关系

古人已知：“1尺之槌，日取其半，永世不竭。”，即：1连续地被2除，会得到，愈来愈小，要多小就有多小，但始终不会=0，的“无穷小”。即：较小的数被较大的数连续的除，就产生了各种的“无穷小”。

这样产生的无穷小、无穷大、等，都可以不限于整数

(7)无穷小、0、无穷大、等，特殊的数，有特殊的运算规则

无穷小、0、无穷大、等，都是特殊的数，它们的运算规则，与通常有限数，

不同。例如：

有限数被无穷大除，也=无穷小。有限的数被“最大”除，就=0。

有限的数被无穷小除，也=无穷大。有限的数被0除，就=“最大”。

无穷大加或减或乘有限数，仍=无穷大。

0 加或减有限数a，仍=有限数a。

0 乘有限数a，总是=0。

   (8) 常数、变数、函数，以及微分、偏微分

还有常数、变数、函数等等的数。

微小的变数、函数乃至相应的“无穷小”还形成相应的“微分”。

各种数都有相应的各种运算规则。

而由事物的相应的变化规律，形成各种代数、微分和偏微分方程式。

4. 那些特殊的数与其它的各种“数”，同样，对实际问题有重要作用

那些特殊的数也都与其它的各种“数”一样，在实际事物中，显示出重要作用。例如：

   一切物体的中心位置，不论是时轴或3个空间轴，就都可以用，0，来标志。

按相对论，距中心的4维时空距离就可以用4维时空距离矢量的模长，(-(ct)^2+r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2)，来表达。

当其时轴分量的模长趋于，而不=，0，ict就是无穷小，相应的3个空间分量的模长 (r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2)，就趋于，而不=，在确定距离的模长，(-(ct)^2+r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2)，条件下，的极大，就是在此条件下的无穷大。

反之，当其3个空间的模长趋于，而不=，0，(r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2)，就是无穷小，相应的时轴分量ict就趋于，而不=，在确定距离的模长，(-(ct)^2

+r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2)，条件下，的极大，就是在此条件下的无穷大。

当其时轴分量的模长=0，ict就是=0，相应的3个空间分量的模长 (r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2)，就=在确定距离的模长，(-(ct)^2+r1^2+r2^2+r3^2

)^(1/2)，条件下，的极大。

反之，当其3个空间的模长=0，(r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2)就=0，相应的时轴分量ict就=在确定距离的模长，(-(ct)^2+r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2)，条件下，的极大。

任何粒子(包括实物粒子和光子)的运动速度的模长：

v=(-c(3)^2+v(3)^2)^(1/2)

v(3) =该粒子在该介质中，3维空间速度的模长。

c(3)=光子在该介质中，3维空间速度的模长。

任何粒子(包括所有在该介质中，3维空间速度小于光子的粒子和光子)的运动质量：

m=m(0)/(1-(v(3)/c(3)^2)^(1/2)

m(0)=该粒子的静止质量。

v(3)=该粒子在该介质中，3维空间速度的模长。

c(3)=光子在该介质中，3维空间速度的模长。

因所有粒子，都在时空运动，且都不可能有无穷大的力作用，其运动质量必不=0，也不能=无穷大。

对于所有在该介质中，3维空间速度小于光子的粒子：

(1-(v(3)/c(3)^2)^(1/2)都不=0，因而，m(0)必不=0。

对于光子：v(3)=c，(1-(v(3)/c(3)^2)^(1/2)=0，只有m(0)=0，才能合理地，使m不=无穷大。而m=0/0就=任何有限数，仍有意义，但其数值不能由此公式确定。而需，也可，利用大量同种光子集体表现或统计效应的波长或频率求得，即：m=h(频率/2派)/c(3)^2)，其中，h是普朗克常数。

   又例如：物体连续性的确切定义：

对于任何随某个参量, x, 变化的某种一一对应的特性，y= f(x), 的2维事物。x就是变量，y=f(x) 就是函数。只能讨论存在一一对应的变量与函数，是否连续？

如果有两个一一对应的无限小，a 和b，当x趋近于c时，存在并且=对应的f(c)，x 改变a；则f(x)改变b，就称：x = c 时，f(x) 连续。

对于任何随某n个参量, x1、x2、…，xn, 变化的某种一一对应的特性，y= f(x1、x2、…，xn), 的n+1维事物。x1、x2、…，xn，就是变量，y=f(x1、x2、…，xn) 就是函数。只能讨论存在一一对应的变量与函数，是否连续？

如果有n+1个一一对应的无限小，a1、a2、…，an 和b，当x1、x2、…，xn趋近于 c1、c2、…，cn时，存在并且=对应的f(c1、c2、…，cn)， x1、x2、…，xn 改变a1、a2、…，an；则f(x1、x2、…，xn)改变b，就称：x1、x2、…，xn = c1、c2、…，cn 时，f(x1、x2、…，xn) 连续。

但是，对于某些实际情况，例如：化合物、合金、溶液等整体的连续性，所取的任意小就可以不必真正趋近于0，而实际上，只需趋近于稍大于其中各原子的尺度，或视觉上近于0，即可。

对于各种事物的各种特性，对应的x 可以是时间、长度、体积，甚至速度、温度等等不同的量。就都类似地相应反映各该事物该特性对于这些量相应的连续性。

对于各类不同的“数”，就要考虑到，例如：有理数（整数、分数（小数、循环小数））、无理数、实数、虚数、复数等等。而且所有的正、负实数，都包括，全部有理数和无理数相互穿插，按数值大小顺序排列地表达在一个实数轴上；所有的正、负虚数，包括顺序排列的全部虚有理数和虚无理数，也都可包括，全部有理数和无理数相互穿插，按数值大小顺序排列地表达在一个与实数轴正交的虚数轴上；而全部相应的复数，就是此实数轴与虚数轴所组成的平面上相应的各点。

考虑“数”的连续性，对实数轴与虚数轴所采用的任意小就必须是真正趋近于0才行，因此，只能对全部实数、虚数、复数（可视为实数与虚数组成的2维数）进行，而不可能分别对有理数（或整数、分数（或小数）或无理数进行。

这就可见：0、无穷大和无穷小，等特殊的“数”及其运算规则，和使用方法，与其它的各种“数”有显著不同，但是，都一样地，对解决实际问题有着非常重要的作用。