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简单证明各多胞胎素数的一些特性

已有 2757 次阅读 2015-10-18 18:30 |个人分类:数理|系统分类:论文交流

简单证明各多胞胎素数的一些特性

 

                                    中国科学院力学研究所吴中祥

 

         

 

利用一个表达并确定各素数的序数、数值,和一个具体判断各整数是否素数的简单方法,简单证明各多胞胎素数的一些特性。

 

关键词:多胞胎素数,首项,步长,末项,邻距,

 

1.表达并确定各素数的序数的简单方法

素数是:除“1”和其自身外,不可被整除的整数。

因而,可利用小于它的所有素数都不能整除它,的特性,而可以采用整数m,以顺序表达各素数j(m) ,即:

j(m)/j(m-k); k=1,2,,m-1,都不是整数,就可以确定j(m)是素数。

j(m)/j(m-k); k=1,2,,m-1,是否都不是整数也就是判定j(m)是否素数的基本条件。

 

这样,我们就知道:m=1j(1)=2, m=2j(2)=3, 就是奇数, m=>2时,若取j(m)+1,就都能被2整除,而必然不是素数。因而,完全可以:对j(m)逐次+2,直到j(m)+2s时,(j(m)+2s)/j(m-k); k=01,2,,m-1,都不是整数,而判定j(m)+2sj(m+1)

   如此,就完全可以按序数,m,列表,具体确定各个素数,j(m),的数值,例如:

m     1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 14 15,…,无穷大

j(m)   2  3  5  7  11 13 17  19 23  29 31 37 41 43 47,…,j(无穷大)

 

直到m=无穷大,j(m)= j(无穷大),即:无穷大素数。

 

2.具体判断各整数是否素数的简单方法

10进制中,哪些整数是素数?以及在整数中,素数如何分布?是否存在无穷大的素数?等问题,都可由此解决。

 

偶数都能被2整除,因而,大于2的,各个位数 =2468的,就都不是素数;

3的倍数都能被3整除,因而,大于3的,各个位数=369的也都不是素数;而且,3的所有倍数的各位数之和都能被3整除,因而,大于3,而各位数之和能被3整除的任何整数,也都不是素数;

5的倍数都能被5整除,因而,大于5的,各个位数=50的,也都不是素数;

各整数中,除25,两数而外,其个位数的10个数中,就都仅有是:1379的,才可能是素数。

各整数中能被比它小的素数,整除的,(25,因个位数不可能是:1379,而不必;3,可由各位数之和都能被3整除),也不是素数。

 

因而,有:

小于10的各整数中,就只有2357,才是,也必是,素数。

大于10的各整数,就仅有个位数是:1379,而且,不能被比它小的素数,整除的,(25,因个位数不可能是:1379,而不必;3,可由各位数之和都能被3整除),才是,也必是,素数。

直到,不断增大,而仍是素数,就是无穷大素数。

这就是具体判断,无论多大的各整数是否素数,的简单方法。

 

3.多胞胎素数的一些特征

u+1胞胎素数是:步长为s的连续u+1个素数,即pt=p0+st; t=0,1,2,,u,同为素数,的系列。

各系列:P0是首项,u+1是项数,pu=p0+su是末项。

若该多胞胎素数,可相继连续出现,其相邻系列的距离,标为:r(p0(a+1)-p0a)

= r(pu(a+1)-pua)

 

当给定:步长,s后,可从m1=2开始逐个增大地,按具体判断各整数是否素数的简单方法,选定适当的m1能开始使j(m1)成为素数的,作为第1个多胞胎素数的首项,p01=j(m1)

再由:j(m1,t)=j(m1)+st; t=0,1,2,,u,都是素数,而j(m1,u+1)=j(m1)+s(u+1)不是素数的条件,确定为:j(m1,u)=j(m1)+su,第1个多胞胎素数的末项。

并从m2=m1+1开始逐个增大地,按具体判断各整数是否素数的简单方法选定适当的m2= m1+a1,能再开始使j(m2)成为素数,并且连续的upt=j(m2)+st; t=1,2,,u,都是素数的,作为下一个u+1胞胎素数系列的首项,p02= j(m2) = j(m1+a1)= j(m1)+sa1,和末项,pu2= j(m2+u) = j(m1+u+a1)= j(m1)+s(u+a1)

如此重复,逐次确定,各ku+1胞胎素数系列的首项,p0k= j(mk) = j(mk+ak)= j(mk)+sak,和末项,puk= j(mk+u) = j(mk+u+ak)= j(mk)+s(u+ak)

 

4.孪生素数

s=2u=1就是通常的s=2,的孪生素数:

 

20135月《自然》在“突破性新闻”栏目里,宣布,《数学年刊》接受华人学者张益唐发表的题为《素数间的有界距离》的文章,证明了存在无数多个孪生素数对(p,q),其中每一对素数之距离,不超过七千万。

后来,进一步得出,其中每一对素数之距离,不超过六万。

 

   按本文方法,就具体得到:

实际上,大于10的各对素数的个位数都是:1 37 99 1

3 55 7 11 1317 1929 3159 6171 73101 103107 109137 139

r 2    6      6     12    30     12     30       6       30    

                          30/61         30/103            30/139

149 151179 181191 193197 199227 229269 271281 283

r12     30      12        6       30      42       12    

         30/181                            42/271

 

311 313347 349419 421431 433461 463521 523569 571599 601

r30      36      72      12       30      60      48      30

                  72/421                   60/523

 

993779 993781993821 993823994247 994249994307 994309

r           42            426            60

                          426/994249

 994319 994321994337 994339994559 994561994709 994711

r12           18            122           150

                                          150/994711

 994811 994813995051 995053995117 995119995327 995329

r102          240            66            210

              240/995053                    210/995329

 

 

999329 999331999431 999433999611 999613999959 999961

r          102            180            348

                                         348/999961

 

可见,随着素数的加大,孪生素数可以无穷多,数值可到无穷大,r有多个峰值的波动变化。但其峰值,随着孪生素数的增大,始终是有限的数值,而且,与该处素数之比,始终是愈来愈小。

 

对于大于10的,s=2u=1的第b个孪生素数,其末项m[b+1]=m[b]+1素数j(m[b]+1),其末位数必为:1379,且不能被37,整除。当逐个增大至j(m[b+c])=j(m[b])+scj(m[b+c] +1)=j(m[b])+s(c+1)都是素数,则它们的末位数必都为:1379,且除1外,都不能被j(m[b])的末位数整除。也就是,cc+1,且除1外,都不能被j(m[b])的末位数整除。因而,对于,任意大的b,即使趋于无穷大,c都是有限值。

 

而都能得出相应的u=1的孪生素数。

 

   s=2u=1的孪生素数90-100万的数据看来,在素数994249处,r=426

在素数999961处,r=348

因而,随着素数的加大,其中每一对素数之距离,有极限值。而且,这个极限值愈来愈小。

200614日,美国宣布:200512月中旬,花了多年时间给700部电脑编程,得出迄今最大素数:它有910万位,被称为梅森数M30402457,即:2^(30402457)-1

2008823日,发现的梅森数M43112609,即:2^(43112609)-1。超过了1200万位。

 

当年,张益唐已算得此极限值,为:七千万,进而,缩减为:六万。不知是否已经用到当年最大素数数据。

 

也不知现在,已知最大素数又增大到了多少?此极限值又缩减到了多少?

 

利用本文,创建的:表达并确定各素数的序数、数值,和具体判断各整数是否素数的简单方法,就应容易得到:更大的素数,和进一步缩减每对素数距离的极限值。

 

s=4u=1就是s=4,的孪生素数:

实际上,大于10的,各对素数的个位数都是:7 13 79 3

3 77 1113 1719 2337 4143 4767 7179 8397 101103 107

r 4    6     6      18     6     24     12    18      6

                    18/41         24/71        18/101

 

s=6u=1就是s=6,的孪生素数:

实际上,各数的个位数都是:7 33 91 7

5 117 1317 2323 2931 3741 4753 5961 6767 7373 7983 89

r  2    10     6     8      10    12     8     6      6     10

        10/23                      12/59                     10/89

 

s=8u=1就是s=8,的孪生素数:

 

实际上,各数的个位数都是:3 11 99 7

3 115 1311 1923 3129 3753 6159 6771 79131 139149 157

r  2    6      12    6      24    6      12    60       18

               12/31         24/61              60/139

 

s=10u=1就是s=1,的孪生素数:

实际上,各数的个位数都是:3 15 31 99 7

3 137 1713 2319 2931 4137 4743 5361 7173 8379 89

r  4    6      6     12     6     6      18     12    6

                      12/41               18/71

 

5s=su 1的多胞胎素数

 

(1)   3胞胎素数

 

对于u=23胞胎素数,有:

 

   s=2u=23胞胎素数

3 5 7

 

   s=4 u=23胞胎素数

3 7 11

 

s=8 u=23胞胎素数

3 11 19

 

   s=10 u=23胞胎素数

3 13 23

 

除了s=n!;n=3,4,, s=2!乘nn=1,2,…,,从m2=m1+su开始逐个增大地,按具体判断各整数是否素数的简单方法选定所有的m2即使能开始使j(m2)成为素数,而连续的2pt=j(m2)+st; t=1,2,就必然不都是素数,都不可能作为下一个胞胎素数系列的首项,p02= j(m2) 和末项,j(m2+2),就再也不会有更大数值的,s=2!乘nn=1,2,,u=23胞胎素数。

 

s=6 u=23胞胎素数

实际上,大于10的,各组素数的个位数都是:1 7 37 3 9

5 11 1711 17 2317 23 2931 37 4341 47 5347 53 5961 67 7367 73 79

r    6        6        14       10       6       14       6

                       14/37                      14/67

101 107 113151 157 163167 173 179227 233 239251 257 263257 263 269

r34        50         16         60        24           6

           50/157                 60/233

 

s=12 u =23胞胎素数

实际上,大于10的,各组素数的个位数都是:7 919 1 37 3 9

7 19 3117 29 4119 31 4329 41 5347 59 7159 71 8389 101 113

r     10      2        10       18       12       30

       10/41   2/43              18/71

127 139 151139 151 163167 179 191199 211 223227 239 251

r 38          12          28          32         28

  38/151                               32/223

 

对于大于10的,除了s=n!;n=4,5,, s=3!乘nn=1,2,,u=2的第b3胞胎素数,其末项m[b+1]=m[b]+2素数j(m[b]+2),其末位数必为:1379,且不能被37,整除。当逐个增大至j(m[b+c])=j(m[b])+scj(m[b+c]+1)=j(m[b])+s(c+1)j(m[b+c]+2)=j(m[b])+s(c+2)都是素数,则它们的末位数必都为:1379,且除1外,都不能被j(m[b])的末位数整除。也就是,c c+1c+2,且除1外,都不能被j(m[b])的末位数整除。因而,对于,任意大的b,即使趋于无穷大,c都是有限值。

 

而都能得出相应的u=23胞胎素数。

 

(2) e+1胞胎素数

u=1,2,的如上规律,类推,对于u= e (e+1)胞胎素数,即有:

除了s=n!;n=e+1,e+2,, s=e!乘nn=1,2,,,从m2=m1+su开始逐个增大地,按具体判断各整数是否素数的简单方法选定所有的m2即使能开始使j(m2)成为素数,而连续的2pt=j(m2)+st; t=1,2,就必然不都是素数,都不可能作为下一个胞胎素数系列的首项,p02= j(m2) 和末项,j(m2+2),就再也不会有更大数值的,s=e!乘nn=1,2,,u=e+1胞胎的素数。

 

对于大于10的,除了s=n!;n=e+2,e+3,, s=(e+1)!乘nn=1,2,, u=2的第b3胞胎素数,其末项m[b+1]=m[b]+2素数j(m[b]+2),其末位数必为:1379,且不能被37,整除。当逐个增大至j(m[b+c])=j(m[b])+scj(m[b+c]+1)=j(m[b])+s(c+1)j(m[b+c]+2)=j(m[b])+s(c+2)都是素数,则它们的末位数必都为:1379,且除1外,都不能被j(m[b])的末位数整除。也就是,c c+1c+2,且除1外,都不能被j(m[b])的末位数整除。因而,对于,任意大的b,即使趋于无穷大,c都是有限值。

 

而都能得出相应的u=ee+1胞胎素数。

 

6.存在任意多的多胞胎素数

2004418日,陶哲轩和格林两人宣布:他们证明了“存在任意长度的素数等差数列”,也就是:存在任意多的多胞胎素数。

但是,不知他们是怎么证明的,且证明太繁复,长达50页。

 

而由本文5(2) u=e,所给出的e+1胞胎素数的规律性,就可见,确实存在任意多的多胞胎素数。并具体给出了它们的一些具体特征。

 



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