科学认识、运用客观世界的基本特性（36）

（接（35））

60. 曲线坐标的建立与发展

我国古代数学家祖冲之利用“割圆术”对圆周率的计算精确到7位有效数字，由正多边形、正多边体到圆、球，已能解决1维曲线坐标的极限积分的问题，得到圆周长度=2π r，又能计算得出2维的圆面积= π r^2，祖冲之父子对于球体积的研究，还得出3维的球体积=4π r^3/3，就表明：我国古代数学家，对“形”的研究已发展到了3维平直和曲线坐标的实际运用。

就已从相应的直线坐标发展到了相应的曲线坐标

已能解决经典物理学3维空间各维正交系相同分量的所有几何学问题。

经典物理学，对封闭系统，当仅有2个粒子：

在质量相同的引力或运动力作用，或正负电荷相同的电力作用下，就都是分别围绕质量中心或电荷中心圆周运动。

在质量不同的引力或运动力作用，或正负电荷不同的电力作用下，就都是分别围绕质量中心或电荷中心椭圆运动。

经典物理学，对封闭系统，当有3个以上粒子：

在质量相同的引力或运动力作用，或正负电荷相同的电力作用下，各2维，就都是分别围绕质量中心或电荷中心圆周运动；3维成为分别围绕质量中心或电荷中心的球面上的运动。

在质量不同的引力或运动力作用，或正负电荷不同的电力作用下，各2维，就都是分别围绕质量中心或电荷中心椭圆运动；3维成为分别围绕质量中心或电荷中心的椭球面上的运动。

              r(3)、dr(3) [1线矢]平直正交坐标图

于是，建立起3维空间的正交曲线坐标：

r(3)[1线矢]

=r(3)sinθcosφ[x基矢]+r(3)sinθsinφ[y基矢]+r(3)cosθ[z基矢]，

dr(3)[1线矢]

=(dr(3)sinθcosφ+r(3)cosθdθcosφ-r(3)sinθsinφdφ)[x基矢]

+(dr(3)sinθsinφ+r(3)cosθdθsinφ+r(3)sinθcosφdφ)[y基矢]

+(dr(3)cosθ-r(3)sinθdθ)[z基矢]

=dr(3)[r基矢]+r(3)dθ[θ基矢]+r(3)dφ[φ基矢]，

有正交系的平直基矢与曲线基矢的变换矩阵：

        [x基矢]   [y基矢]  [z基矢]

[r基矢]=sinθcosφ  sinθsinφ  cosθ

[θ基矢]=cosθcosφ  cosθsinφ  -sinθ

[φ基矢]=-sinθsinφ  sinθcosφ  0

61. 采用正交系的曲线基矢

  当为1维，对于圆周长，r是圆半径，{dr(3)[1线矢]积分}=2 π r，

     对于长、短轴分别为a、b的椭圆周长，

{dr(3)[1线矢]积分}= 2π (a^2+b^2+c^2)^(1/2)，

对于3个轴分别为a、b、c的椭球周长，

{dr(3)[1线矢]积分}= 2 π (a^2+b^2+c^2)^(1/2)，

当为等长2维，即：圆面积，

{dr(3)[2线矢]积分}={rdr(3)[2线矢]积分}= π r^2，

当长、短轴分别为a、b的2维椭圆面积，

{dr(3)[2线矢]积分}={rdr(3)[2线矢]积分}= π(a^2+b^2)，

当3个轴分别为a、b、c的椭球表面积，

{dr(3)[2线矢]积分}={rdr(3)[2线矢]积分}=2 π(a^2+b^2+c^2)，

当为等长3维，即：球体积，

{dr(3)[3线矢]积分}={2r^2dr(3)[3线矢]积分}= 4π r^3/3，

当长、短轴分别为a、b的2维椭球体积，

{dr(3)[3线矢]积分}={2r^2dr(3)[3线矢]积分}= 4π(a^2+b^2)^(3/2)/3，

当3个轴分别为a、b、c的椭球体积，

{dr(3)[3线矢]积分}={2r^2dr(3)[3线矢]积分}

=4π(a^2+b^2+c^2)^(3/2)/3，

速度v(3)[1线矢]=dr(3)/dt[1线矢]

=dr(3)/dt[r基矢]+r(3)dθ/dt [θ基矢]+r(3)cosθdφ/dt [φ基矢]，

偏/dr(3)[1线矢]

=偏/dr(3)[r基矢]+偏/(r(3)dθ)[θ基矢]+偏/(r(3)dφ)[φ基矢]，

动量p(3)[1线矢]=mv(3)[1线矢]=mdr(3)/dt[1线矢]

=m(vr[r基矢]+vθ[θ基矢]+vφ[φ基矢])

=m(dr(3)/dt[r基矢]+r(3)dθ/dt[θ基矢]+r(3)dφ/dt[φ基矢])，

运动力f运(3)[1线矢]=ma(3)[1线矢]=mdv(3)/dt[1线矢]

=m(ar[r基矢]+aθ[θ基矢]+aφ[φ基矢])

=m(dv(3)/dt[r基矢]+r(3)d^2θ/dt^2[θ基矢]+r(3)d^2φ/dt^2[φ基矢])，

引力f引(3)[1线矢] =f引r[r基矢]+f引θ[θ基矢]+ f引φ[φ基矢]

相当于=mg(3)[1线矢]=m(gr[r基矢]+gθ[θ基矢]+gφ[φ基矢])，

离心力f离(3)[1线矢]相当f离r[r基矢]+f离θ[θ基矢]+f离φ[φ基矢]，

电力f电(3)[1线矢]相当f电r[r基矢]+f电θ[θ基矢]+f电φ[φ基矢]，

磁力f电(3)[1线矢]相当f磁r[r基矢]+f磁θ[θ基矢]+f磁φ[φ基矢]，

对于4维时空的封闭系统：

在质量相同的运动力作用，或正负电荷相同的电力作用下，各2维空间，就都是分别围绕质量中心或电荷中心圆周运动；3维空间成为分别围绕质量中心或电荷中心的球面上的运动。

在质量不同的运动力、离心力作用，或正负电荷不同的电力、磁力作用下，各2维空间，就都是分别围绕质量中心或电荷中心椭圆运动；3维空间成为分别围绕质量中心或电荷中心的椭球面上的运动。

在质量相同或 不同的运动力、离心力作用，或正负电荷相同或不同的电力、磁力作用下，时轴与各维空间，就都是分别以各自相应的质量中心或电荷中心为坐标中心的双曲线一支的运动。

而且各椭球面或双曲线的轴长还随时间而改变。

    因而，总体成为相应较的复杂的曲线运动。

4维时空的正交曲线坐标：

r(4)[1线矢]=ict[t基矢]+ r(3)[1线矢]，

r(3)[1线矢]仍然

=r(3)sinθcosφ[x基矢]+r(3)sinθsinφ[y基矢]+r(3)cosθ[z基矢]，

dr(3)[1线矢] 仍然

=(dr(3)sinθcosφ+r(3)cosθdθcosφ-r(3)sinθsinφdφ)[x基矢]

+(dr(3)sinθsinφ+r(3)cosθdθsinφ+r(3)sinθcosφdφ)[y基矢]

+(dr(3)cosθ-r(3)sinθdθ)[z基矢]

=dr(3)[r基矢]+r(3)dθ[θ基矢]+r(3)dφ[φ基矢]，

   各种力的3维空间各分量都与3维空间的同样处理。

   当时轴是由光子传送：

dr(4)[1线矢]=icdt[t基矢]+dr(3)[r基矢]+r(3)dθ[θ基矢]

+r(3)dφ[φ基矢]，

   当时轴是由声子传送：

dr(4)[1线矢]=ia*dt[t基矢]+dr(3) [r基矢]+r(3)dθ[θ基矢]

+r (3)dφ[φ基矢]，

{dr(3)[1线矢]的积分}仍然与3维空间的一样。

   当时轴是由光子传送，有：

    r(4)[1线矢]=ict[t基矢]+ r(3)[1线矢]，

r(4)^2=(ict)^2+r(3)^2=-(ct)^2+r(3)^2，

运动轨迹：(ax)^2-(by)^2=0，是长轴=a，短轴=b，的双曲线；频率光红移量z与t也是双曲线(z+z0)(t+t0)=k,的一支)。

   可由光子在均匀介质传送的3对数据确定。

   当时轴是由声子传送，有：

    r(4)[1线矢]=ia*t[t基矢]+ r(3)[1线矢]，

r(4)^2=(ia*t)^2+r(3)^2=-(a*t)^2+r(3)^2，

运动轨迹： (ax)^2-(by)^2=0，是长轴=a，短轴=b，的双曲线；频率声红移量z与t也是双曲线(z+z0)(t+t0)=k,的一支)。

   可由声子在均匀介质传送的3对数据确定。

    对于有“力”量纲的矢量，还有，6维和12维，的时空矢量。

对于6维时空的封闭系统，实际上都是由2个4维矢量叉乘，产生的2组3维系统：

对于12维时空的封闭系统，实际上都是由2个4维矢量叉乘，再叉乘或点乘1个4维矢量，产生的4组3维系统：

    对于偶数时轴的各3维系统，都按各自3维空间系统处理，各轴长还随时间而改变。

对于奇数时轴的各3维系统，时轴与各3维空间，就都分别按各自相应的双曲线一支的运动，各轴长还随时间而改变。

    当然，各情况总的结果是各自相应显著不同的。

（未完待续）

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