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Π的多种表达式

已有 1272 次阅读 2018-10-8 12:26 |个人分类:数理|系统分类:论文交流

 

Π的多种表达式

 

本人博文:

分析祖冲之得出精确圆周率显示中国古代一些数学卓越成就

http://blog.sciencenet.cn/blog-226-1137285.html

已由3角、几何,分析、证明,得到:

对于正4边形,用割圆法,逐次成为正2^j边形,j=3,4,,直到趋于∞,

j趋于∞,Π=2^(j)A(j+1)A(j)=2-(2+A(j-1))^(1/2)

A(j-1)=(A(j)-2)^2-2

j=2时,A(j-1)=2^(1/2)(所用有效数字,应能保持到有相应Π值所需的有效数字。)

j趋于∞,Π=2^(j)A(j+1)=2^(j)(2-(2+A(j))^(1/2))

也可以有: Π=2^(j-2)A(j-1)=2^(j-2)((A(j)-2)^2-2)

用与此类似方法,对于其它正x多边形割圆逐次成为正x^jxy^jxy^jz^k或更多个类似的连乘积,各经s次后,各xyz,等等,都是大于2的正整数,jks,等等,都是大于1的正整数,当jks,等等,之一由各相应的数值逐次趋于∞,就都可得到各相应Π的表达式。例如:

对于正3边形割圆逐次成为正3^j边形,A(j)=(3-(3+A(j-1))^(1/2)j=2,3,,直到趋于∞,

j趋于∞,Π=3^(j+1)A(j+1)/2

3+A(j-1)=(A(j)-3)^2

j=1时,A(j-1)=3^(1/2)(所用有效数字,应能保持到有相应Π值所需的有效数字。)

j趋于∞,Π=3^(j+1)A(j+1)/2=(3^(j+1)/2)(3-(3+A(j))^(1/2)

也可以有:Π=3^(j-1)A(j-1)/2=(3^(j-1)/2)((A(j)-3)^2-3)

 

对于正4边形割圆逐次成为正43^j边形,

A(j)=(3-(3+A(j-1))^(1/2); j=2,3直到趋于∞,

j趋于∞,Π=43^(j+1)A(j+1)/2

3+A(j-1)=(3-A(j)^2)

j=2时,A(j-1)=(23)^(1/2)(所用有效数字,应能保持到有相应Π值所需的有效数字。)

j趋于∞,

Π=23^(j+1)A(j+1)=23^(j+1)((3-(3+A(j)^(1/2))

Π=23^(j-1)A(j-1)=23^(j-1)((3-A(j)^2)-3)

类似地,对于其它正x多边形割圆逐次成为正x^jxy^j,由各相应的数值,x或y已经逐次趋于∞,就都可得到Π的各相应表达式。

而可得到:j为整数序列、素数序列、合数序列、复数序列,等等,的无穷级数与Π各相应关系式,或将jA(j),换为1/k,就得到:

{(1/k)^s;k=1,2.,直到趋于∞,s=2,3,直到趋于∞;1/2,1/3,,(对于负数的k,就产生各种不同于实数的数类)直到趋于1/},与各相应的收敛性无穷级数的关系式。

    其中,{(1/k)^2;k=1,2.,直到趋于∞}就是与Π值和相应的收敛性无穷级数相应关系式的黎曼ζ(2)函数。

 类似地,对于其它正x多边形割圆逐次成为xy^jz^k或更多个类似的连乘积,各经s次后,各xyz,等等,都是大于2的正整数,jks,等等,都是大于1的正整数,当jks,等等,之一由各相应的数值逐次趋于∞,就都可得到各更为复杂的各数序列无穷级数与相应的Π值和各相应的收敛性无穷级数表达式。

对它们的研究,以及换为曲线坐标的研究,显然有重要意义与作用。  




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