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Π的多种表达式
本人博文:
“分析祖冲之得出精确的圆周率显示中国古代一些数学卓越成就”
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已由3角、几何,分析、证明,得到:
对于正4边形,用割圆法,逐次成为正2^j边形,j=3,4,…,直到趋于∞,
当j趋于∞,Π=2^(j)A(j+1),A(j)=2-(2+A(j-1))^(1/2),
A(j-1)=(A(j)-2)^2-2,
当j=2时,A(j-1)=2^(1/2),(所用有效数字,应能保持到有相应Π值所需的有效数字。),
当j趋于∞,Π=2^(j)A(j+1)=2^(j)(2-(2+A(j))^(1/2)),
也可以有: Π=2^(j-2)A(j-1)=2^(j-2)((A(j)-2)^2-2),
用与此类似方法,对于其它正x多边形割圆逐次成为正x^j或xy^j或xy^jz^k或更多个类似的连乘积,各经s次后,各x、y、z,等等,都是大于2的正整数,j、k,s,等等,都是大于1的正整数,当j、k,s,等等,之一由各相应的数值逐次趋于∞,就都可得到各相应Π值的表达式。例如:
对于正3边形割圆逐次成为正3^j边形,A(j)=(3-(3+A(j-1))^(1/2);j=2,3,…,直到趋于∞,
当j趋于∞,Π=3^(j+1)A(j+1)/2,
3+A(j-1)=(A(j)-3)^2,
当j=1时,A(j-1)=3^(1/2),(所用有效数字,应能保持到有相应Π值所需的有效数字。),
当j趋于∞,Π=3^(j+1)A(j+1)/2=(3^(j+1)/2)(3-(3+A(j))^(1/2),
也可以有:Π=3^(j-1)A(j-1)/2=(3^(j-1)/2)((A(j)-3)^2-3),
对于正4边形割圆逐次成为正4乘3^j边形,
A(j)=(3-(3+A(j-1))^(1/2); j=2,3直到趋于∞,
当j趋于∞,Π=4乘3^(j+1)A(j+1)/2,
3+A(j-1)=(3-A(j)^2),
当j=2时,A(j-1)=(2乘3)^(1/2),(所用有效数字,应能保持到有相应Π值所需的有效数字。),
当j趋于∞,
Π=2乘3^(j+1)A(j+1)=2乘3^(j+1)((3-(3+A(j)^(1/2)),
Π=2乘3^(j-1)A(j-1)=2乘3^(j-1)((3-A(j)^2)-3),
类似地,对于其它正x多边形割圆逐次成为正x^j或xy^j,由各相应的数值,x或y已经逐次趋于∞,就都可得到Π值的各相应表达式。
而可得到:j为整数序列、素数序列、合数序列、复数序列,等等,的无穷级数与Π的各相应关系式,或将j或A(j),换为1/k,就得到:
{(1/k)^s;k=1,2.…,直到趋于∞,s=2,3…,直到趋于∞;或1/2,1/3,…,(对于负数的k,就产生各种不同于实数的数类)直到趋于1/∞},与各相应的收敛性无穷级数的关系式。
其中,{(1/k)^2;k=1,2.…,直到趋于∞}就是与Π值和各相应的收敛性无穷级数有相应关系式的黎曼ζ(2)函数。
类似地,对于其它正x多边形割圆逐次成为xy^jz^k或更多个类似的连乘积,各经s次后,各x、y、z,等等,都是大于2的正整数,j、k,s,等等,都是大于1的正整数,当j、k,s,等等,之一由各相应的数值逐次趋于∞,就都可得到各更为复杂的各数序列无穷级数与相应的Π值和各相应的收敛性无穷级数表达式。
对它们的研究,以及换为曲线坐标的研究,显然有重要意义与作用。
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