气泡运动的数值模拟方法是从上世纪70年代前后开始出现的(Plesset 1967)。采用数值技术模拟气泡非球形坍塌的好处是很明显的，水下爆炸实验比较复杂，难于实施，且只能得到粗略的结果。而当在流场中加入重力场和/或边界时，气泡的形状将不再是球形，因此Rayleigh-Plesset方程的假设也不再成立，而且对球对称模型进行摄动求解对于不规则的大变形情况通常是无效的。数值解则可以用于校对结果，并提供细节信息，数值方法还可以研究实验无法进行的情况。

在气泡动力学领域中，边界积分法无疑是应用最成功、最广泛的方法。由于具有降维和拉格朗日性质，边界积分法的计算量小且精度较高，在模拟三维复杂几何形状边界面问题（如气泡运动）或者自由表面流时有其独特的优势。因此，为配合论文的研究内容，在此主要叙述边界积分法的应用发展情况。边界积分法首先被Blake、Chahine等人成功的应用于空化气泡模拟研究，随后，Wilkerson将该方法引入水下爆炸气泡的数值模拟，经实践证明其对水下爆炸气泡模型的计算结果与实验数据吻合良好。经过二十多年的发展，对于气泡运动模拟中遇到的各种困难，人们对模拟方法进行了不断改进和完善，使边界积分法在水下爆炸领域的应用得以持续发展。

为了求解气泡的表面速度，法向速度可由气泡表面定义的法向矢量获得，而切向速度则需通过沿边界面的速度势导数值及其插值计算获得。Wilkerson^[108](1990)、Chahine等^[21](1988)采用多项式插值，切向速度分量是由沿着气泡表面的速度势切向导数值确定。Harris(1992)提出了在边界面上用线性近似平均法求节点的法线方向的方法，通过节点周围单元的平均法线值可以得到节点法线的近似值，但这些方法的精度比较低，在细化网格时，方程的解不收敛。Tong^[101](1997)采用径向基础函数代替多项式来近似气泡表面速度势，提高了近似计算的精度，然而该方法也具有局限性。Zhang等^[113](1998)提出了以九节点单元为基础的三变量插值方法，但是这种方法有时会变得相当繁琐，随后他们又提出了一种新的简单、有效的方法，解决了问题。其基本思想是：尽管多面体(离散的边界面)的顶点的法线是不确定的，但是每个三角形面单元上的法线是可以确定的，由边界方程可以解出每个单元的法向速度 ，通过有限差分方法，就可以获得沿单元两个切线方向的速度，从而计算出在每一个具有确定节点的单元上的速度向量。

在三维模拟方面，Wilkerson^[108](1990)应用对时间积分的边界积分法实现了气泡动态特性的三维数值模拟，但大量计算的网格动边界使计算气泡变得十分不稳定，针对这个问题，Zhang等^[114](2001)基于最小二乘法发展了三维局部曲面光顺方法，消除了计算过程中出现的高频局部波动，有效的抑制了计算过程中由于网格扭曲而引起的数值发散。当气泡的变形较大时，大多数单元将集中到射流形成的区域，导致射流区网格过密，而非射流区网格过稀，引起计算过程的网格畸变，针对这个问题Wang等^[106](2003)提出了网格调整技术(EMT)，假定网格段是弹性的，弹性网格将每个时间步内储存在网格线段中的能量总和降到最低，从而优化网格，使得气泡演化过程中的网格更加均匀，计算更稳定。

对于射流冲击形成环状气泡的过程，Best^[3,4](1993,1994)采用切割技术，将气泡从原始的单连通域过渡到射流冲击之后的多连通环形气泡，在气泡内布置一涡环代替涡面模拟了二维气泡的环状阶段。Zhang等^[111]( 1994)在气泡的环状阶段定义了一个层来分离射流区和周围的流场区，这个层充当一个涡流面并随着流体运动，由于层的变形不能越过气泡表面，这使得在追踪表面时碰到很大的困难。为解决这个问题，Wang等^[107](1996)采用切割技术将气泡从原始的单连通域过渡到射流冲击之后的多连通环状气泡，在气泡内布置一涡环代替涡面模拟气泡的环状阶段，这样可以无需追踪涡面的运动，只需确保在气泡运动时涡环一直在气泡内。随后，Zhang等^[114](2001)将涡环用于三维环状气泡的模拟，实现了三维气泡的膨胀、坍塌、射流、回弹整个过程的数值模拟。