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[转载]数学行家对反证法的理解不应该如此肤浅和不求甚解

已有 2750 次阅读 2021-1-17 21:16 |个人分类:数学研究|系统分类:科普集锦|文章来源:转载

注:因杨六省(yangls728@163.com)老师之邀,特将其一篇关于对反证法理解争议的短文转载于此,请行家里手进行点评,当然也可以与杨六省老师直接联系进行学术交流

数学行家对反证法的理解不应该如此肤浅和不求甚解

杨六省( yangls728@163.com

     薛问天教授写道:“在用反证法证明【√2不是有理数】的证明中,只要由反证法的假定【√2是有理数】推出任何的矛盾,都可以推翻此假定,使定理得证。”(参见科学网《数学啄木鸟专栏》中“Zmn-0414 黄汝广:√2是无理数的反证法有效么?   2021-1-12 21:29”一帖后的“转发薛问天先生的评论”)

       笔者评析:关于反证法概念,一个基本的常识是——“在进行反证中,只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题。关于“√2不是有理数”的证明,原论题是“√2不是有理数”,其表达式是“√2=p/qpq不全是整数)”;反论题是“√2是有理数”,其表达式是“√2=p/qpq全是整数)”。

        由原假定“√2=p/qpq全是整数)”推出的新的假定“√2=p/qpq互质)”,已不再是原论题的反论题了,因为表达式“√2=p/qpq互质)”与原论题“√2不是有理数”并不是矛盾判断关系(理由参见笔者在“对人教版七年级《数学》中反证法应用的质疑”一贴中的分析),这就是说,薛问天教授已经犯了一个常识性的错误(注:你赞同,就是你犯错,不能甩锅给毕达哥拉斯学派)!

       接下来,关于“p是偶数”和“q是偶数”这样的结论(注:姑且不论其推理是否有效),其虽与新假定“√2=p/qpq互质)”中的“pq互质”矛盾,但根据这个矛盾,并非像薛问天教授所说的,就能够推翻“√2是有理数”这个原假定,从而使“√2不是有理数”得证(理由参见笔者的上述帖子)。

       值得指出的是,“√2=p/qpq互质)”与“√2=p/qpq全是整数)”事实上存在着一种微妙的逻辑层次方面的差异——关于这一点,虽不能说,只可意会不可言传,但它确实需要人们“悟”,因为它属于思辨思维。

       如果我们的教师,尤其是我们的教科书,都像薛问天教授一样,教给学生一个关于反证法的糊涂观念——认为不管“推出”任何的矛盾都行,哪怕这种矛盾并不能否定反论题,并不能确立原论题;也不管这些“推出”是否都合理——这样的教学,岂不误人子弟?

        我们要教好、学好反证法,需要把握好3点:①设定的反论题,务必与原论题是矛盾判断关系。②务必做到每一步推理都是合理的。③最终推出的矛盾,要能够否定反论题。

        基于上述原因,数学教育界,尤其是数学教学研究机构和教科书编写单位,应该正视目前普遍存在的对反证法概念的误解。为了对学生负责,有错必纠,不能麻木不仁!同时,要克服如下僵化思想:关于“√2不是有理数”的证明,是由著名的毕达哥拉斯学派给出的,经由逻辑学之父亚里士多德、几何学之父欧几里得等科学巨人转述,又经历了25个世纪之久的考验,怎么可能会错呢?就此,笔者要问,如果论证一个观点,可以“诉诸权威”、“诉诸大众”,那么,“地心说”就是真理了!因为“地心说”是由权威人士亚里士多德提出的,他被恩格斯誉为古希腊哲学家中“最博学的人物”;再说,“太阳绕着地球转”又是当时普天下人的共识。但问题是,“权威”和 “大众”这两个概念,与所论问题真有内在必然联系吗?因此笔者认为,作为数学行家(包括数学教育家)对于反证法的理解不应该如此肤浅和不求甚解,而应该科学严谨,有错必纠,切勿以讹传讹,误人子弟!

相关博文:对人教版七年级《数学》中反证法应用的质疑

Zmn-0392 杨六省: 在进行反证中,只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题 

Zmn-0390 薛问天: 请杨六省先生三思,再评先生的质疑 



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