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裹而不乱的卷积 精选

已有 9511 次阅读 2012-6-19 04:40 |个人分类:教学与科研|系统分类:科普集锦|关键词:卷积,系统理论| 卷积, 系统理论

 

鲍海飞老师论卷积的文章,给卷积赋予了几分浪漫的诗意。循着鲍老师文章中的链接,曹广福吴中祥二位老师又让我重新认识了卷积理论严谨的一面。

 

卷积(convolution),对于许多初学系统理论的人来说,是个恼人的概念。convolution 的形容词是 convoluted,含有 twistedcomplicated intricately involved 等意思,比如,要形容一部小说情节复杂,我们会说 It has a convoluted plot.  因此,把 convolution 翻成北京话里的“裹乱”,应该还不失形象与贴切。下面这幅漫画,出自一本“信号与系统”的教科书 (BP Lathi, Signal Processing & Linear Systems, Oxford University Press),相信不少人看了会发出会心的微笑。

 

 

其实,要想理解卷积并不难,最好的办法就是从系统的脉冲响应出发,自己把公式推一遍,掌握其来龙去脉。这也只需三板斧就够了,各位看官请跟我把下面几帧连环画看完。

 

卷积理论的大前提是系统必须是线性、时不变的,假设它对脉冲信号 d(t) 的响应是 h(t),下面是系统理论中常用的表述方法,左边为输入,右边为输出:

 

第一板斧要利用的是系统的时不变性:如果我们把输入的脉冲信号在时间上平移 t,即 d(t-t),系统的新输出也应该相应地平移 t,即 h(t-t).

第二板斧要利用的是线性系统的特性:如果我们再在这个平移后的脉冲信号前面乘上一个系数,即 Ad(t-t),输出也应该被乘上相应的系数,即 Ah(t-t).

 

第三板斧就是把一个任意的输入信号 f(t) 近似成无穷个脉冲函数的叠加:这个对学过微积分的人来说小菜一碟,即

 

f(t)=S f(nDt) d(t-nDt) Dt

 

有了前面的两板斧,很自然,系统的输出应该是对每个脉冲信号响应的叠加,即

 

y(t)=S f(nDt) h(t-nDt) Dt

 

这里再一次利用了线性系统的特性,即可叠加性。

 

 

如是,当Dt->0 时,求和便成了积分,系统的输出也就成了脉冲响应和输入信号的卷积,这就齐活儿了。

 

y(t) = ∫ f(τ) h(t−τ) dτ

 

理解了这一推导过程,您就会发现,卷积一丁点儿不裹乱。恰恰相反,它的产生,有着清晰的物理思想和巧妙的数学构建,形式上简约到了极致。由此,您就可以任意地发挥诗人的想象漫步在时间或空间上翻转平滑,胜似闲庭信步您也可以在时域和频域间做一番穿越,细细品味一下卷积的种种性质,里面不乏奇妙的对称性,能唤起近乎神秘的美感,这便是数学的魅力了。

 

每年给学生布置卷积的作业时,我都会在最后写上一句: Happy convolving!

 

裹而不乱,不亦悦乎?



大话卷积
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