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测不准原理与Fourier变换

已有 4457 次阅读 2014-7-14 09:19 |系统分类:科普集锦| style

量子力学中认为时间与能量是无法同时精确测量的,其方差的乘积不会小于常数,即:

$\Delta t \Delta E\geq $\hbar$/2$ ;

同理关于坐标与动量的关系有:

 .Delta {x}.Delta {p} .geq .hbar/2

尽管通常教材中有复杂的证明,但其物理本质其实非常简单而普遍,适用于一切Fourier变换对。为了绕开复杂的证明而求取直观的理解,需要引入一下Fourier变换的两个性质:

1.Fourier变换将正态分布映射为正态分布。即高斯函数是Fourier变换的本征函数。

高斯函数也如同测不准原理一样无处不在,有人认为它像钟,有人认为它像桥:

2.(尺度特性)如果将Fourier变换对的时域函数压缩a倍,则对应的频域函数将扩展a倍。


于是可以这样理解测不准原理:对时域的一种测量,其测量误差的大小可以用正态分布的方差来描述。其高斯曲线的形状越窄,方差越小,代表测量越精确。变换到频域以后,同样也可以用方差来描述,而由第二条性质可知,当时域方差变小时,频域方差必定相应增大。反之亦然。因而信号的时域与频域无法同时精确被测量。




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