6.3第6章第2节降水统计力学—气象统计学私探（28）

张学文，2020 10 10  基于1985-2006的文稿，

--第2章的第2节--2006-10-28

§2降水的时面深问题之二—不同降水强度占有的时间问题

前面用了统计力学的思路研究了一次降水过程的总降水在地理面积上的相对分布问题。它没有细究降水在时间上的特点。现在我们把问题转向降水在时间上的分配问题。这里要研究在一次降水过程中(不是好几次水，也不是一次过程中某一小部分)在任一个雨量观测点上降水强度随时间如何变化的问题。例如开始时它可能不大，而后雨量变的很急，最后又慢慢地停了下来。在这里要研究一次过程中如降水总量为x它维持的时间(历时)为T，那么内中有多少时间雨量很急又有多少时间雨并不大?

我们用I表示降水强度，既单位时间内的降水量。现在的问题是I为不同值者各占了多少时问的问题。或者说研究它在总降水历时T中占了多大的比重?这也就构成了雨强与历时的关系问题。

前面研究雨深面积关系时涉及的降水总过程雨量在面积上的分布。现在研究的雨强与历时的关系就可以以不究面上的问题，仅研究单站(每一雨量观测点)的情况就可以了(面上的雨强问题在本章最后再讨论)。

我们把某地的一场历时为T的降水均匀地分成N个时段，每一时段的长度为Δt。N是充分大的一个数。只要雨量自记仪器充够灵敏，这一点总可以得到某种程度的满足。不过要求N很大现在仅是理论分析上的方便。等到得出结论这些点也不必过于强调。这好像是我们证一个几何题时人为的加上一条辅助线一样，它仅是对我们向下论证提供方便而已。

把总降水分成N个时段，每一时段的降水强度I会有不同的值。如把N段的雨强资料I都得到，我们不难进而整理出雨强为I₁，I₂，I₃……者各占有n₁, n₂, n₃……个时段。即有如下一组对应关系。

I₁， I₂， I₃， I₄  ， ……，I_i ，……I_k

↓  ↓  ↓  ↓   ……，↓，……↓

n₁ ，n₂ ，n₃ ，n₄  ，……， n_i ，……n_k

这里也设最大雨强为I_k它占有n_k个小时段。如这次降水过程在这个雨量点上的总降水量为x，它应当是各时段的雨强I_i与占有的时段个数n_i 与Δt的积的合计值。即

       （6.22）

另外，各雨强所占的时段数n_i的合计值应当与总时段数N相等

即有

如果我们假设大气在降水历时中，任意安排它的降水强度。这就意味着任一时段出现什么雨强郡是等可能性的。从这里又引出实现某种雨强有多少个实现方法的计算问题。仿照第一章中的讨论不难得出类似的实现方法的个数S也有

    （6.12）

关系。这样S就成为n₁, n₂, n₃的函数而在满足（6.23）)和（6.22）这两个约束条件下我们可以求出S达到极大，也就是最容易实现的那种n₁, n₂, n₃……与I₁，I₂，I₃………的关系。同样依照前面的推理可以得到

    （6.24）

这里的是历时T的降水的平均雨强，即

     （6.25）

由于（6.24）对于任何的i都成立，故也可以写为

      （6.26）

它表明在N个时段中有n个时段的降水强度在I→I+ΔI之间。n除了与ΔI成正比外，还与雨强I成负指数关系。

以Δt乘上式左侧的分子和分母，由于nΔt=t，NΔt=T(这里t是雨强为I→I+ΔI者的总历时)而得：

    （6.27）

这个式子给出了降水强度在I→I+ΔI范围内者占据的时间长度t的计算公式。它已经把雨强与历时连系了起来。

如令ΔI=l，我们看到降水强度每增加单位值时占用的降水时间与总历时的比值在数值上与相等(因次是I的倒数)。据此我们把称为雨强历时函数，并以f_t(x)表示，它刻划了雨强与历时的关系。这样我们就可以写为

      （6.28）

这就是最可机意义下的雨强历时函数。是我们寻找的基本关系。它在外形上与雨深面积函数是一致的．

利用上式做雨强I到无穷大的积分并乘以总历时T，我们就可以得到降水强度超过I者占了多少时间。我们把这个量以T’表示就有

 （6.29）

这个简单的式子指明了历时为T、平均雨强为的一次降水过程中雨强超过I者维持的时间T’也是与I成负指数关系。I越大T’占用的时问就迅速减少。

如果把积分下限取为零，则积分得出的T’应当理解为降水总历时，即T’=T 。实际上以I=0代入上式T’恰为T。这说明上式在特定场合下的结果与我们从物理上分析得出的结果是一致的。

降水强度与对应的历时相乘即为形成的降水量。所以TIf_t(I)ΔI为降水强度在I→I+ΔI范围内形成的降水量。显然降水强度超过I的时间段所形成的降水总量x(I)应当是

利用得到的雨强历时函数积分得

     （6.30）

      （6.31）

上式表明雨强超过I者形成的降水量x(I) 为它占用的时间T’与（I+I’）的乘积。

用T’除x，可以理解为雨强超过I者的平均雨强。我们用表示，就有

           （6.32）

把它代入前式有

     （6.33）

它表明一场降水中雨强超过了I者所形成的平均雨强为I与整个降水过程平均雨强的合计值。

如果有一场总量为20mm的降水用了5小时。你知道雨强超过10mm/小时者占了多长时间吗？

利用这里给出的最可机雨强历时关系，依（6.29）式我们就可以计算了。

由于平均雨强=20mm/5h,即=4mm/h，故得

这表明雨强超过10mm/h的雨维持了大约25分钟。它仅占总历时的1/12。

那么它形成了多少降水？！利用（6.31）式，我们可以计算出来，即x=0.41h(10+4)mm/h=5.7mm

在这里我们看到尽管没有降水的自记数据，只要有总降水和总历时，那么利用最可机的雨强历时关系，会使我们对降水有很多深一层的认识．这时请注意的一点是上述理论是针对一场降水过程来说的。一场两个字可能没有引人注意，但它十分重要。如果当地的某一降水不是由一场降水过程，而是例如两场，参与降水的合计值’那么这个关系就不适用了．什么叫做一场降水?这要天气经验丰富的预告员去判断了。

我们得到的公式究竟与实际是否相符?为了对比，不妨把一从实际降水中归纳出来的经验方程与这一理论对比一下。为便于对比把(6.30)、(6.31)、(6.32)和(6.33)式联立，则得

       （6.34）

和       （6.35）

注意T’的含义是雨强大于I的部分占用的历时,因而可以把(6.34)式说成强降水的历时T’与强降水的平均强度的关系。而把(6.35)式理解为强降水的历时T’与强降水所形成的雨量的关系。上面所用的强降水一词都可做为暴雨来认识。而暴雨的雨量与历时的关系则历采是水文工作者十分关系的问题。这两者有不少经验方程早为人们利用。这里我们引用J．L．H.Paulhus[2．3]提供的一个较为著名的经验方程。

x=ct^{0.475  （6.36）}

式中的c为一个常数。

这个方程描述的对象与我们的理论公式(6.34)有共同的部分。后者是针对暴雨而言的。而(6.34)式是对全降水过程都适用的．

为了对比这两个式子，我们把它们都以图的形式绘出函数形状来（图2.5）。

前面指出暴雨仅占总降水历时T的很小一部分（如前例中10mm／h仅占总历时的1/12）。所以图中仅对比了T’/T小于0.2的这一部分两个方程的图形。从中看到这两个方程的公式形式尽管不同，但在暴雨段内两个曲线是十分相近的。这说明我们得到的理论是与实际基本相符的。从这里我们也可进而提议应当用我们得出的理论关系（6.34)式代替经验方程。

图6.5相对暴雨量与相对历时t/T的经验关系(虚线)与理论关系(实线)

气象工作者长期以来没有为降水强度的时间分布问题给出一个理论关系。现在引入统计物理学中的思路得到了与水文工作者实测的关系相一致的雨强历时关系。这对气象学和水文学、对理论和实践都是件好事。对于多数降水站来说都没有实测的雨量自记数据，而这一理论只要求总降水和总历时，就可以对雨强时间分布给出明确结果。这显然会省去我们大量的物力、人力。还应当指出我们的结果并没有强调它仅用于甲地不能用以乙地即它是一个相当通用的式子。这比起经验方程采说就有更大的价值。对于雨量站稀少地区这无疑给我们巨大的帮助。

当然作者作的验证工作并不多。我国已有不少这方面的数据。热诚欢迎水文、气象工作者用资科进一步验证这种关系。我们认为无论是进一步肯定或否定这一理论对理论与实践都有重要意义。

（2006年注：1991年张学文，马淑红、马力发表在大气科学，15卷，6期，17－25页上的“从熵原理得出的雨量时程方程”一文给出了很多例子，它们引证了这里发现的理论关系）