【牛顿无穷小量⚪】的本质：构成微积分世界的【量子】

美国归侨冯向军

2018/8/31

  【量子】就是不能再被分割而其组成仅受自然约束条件限制的事物的基本存在形式【1】。构成微积分世界的【量子】就是【牛顿无穷小量⚪】。【牛顿无穷小量⚪】有如下所示只有各类【量子】才具备的特性。

  未坍缩的牛顿无穷小量⚪是一只广义的薛定鄂猫或冯向军泛有序对：

  冯向军泛有序对（【零】，【非零】）= 0.5【零】+0.5【非零】  （1）

  未坍缩的牛顿无穷小量⚪平等遍历【零】和【非零】，同时是【零】又是【非零】，【零】就是【非零】，【非零】就是【零】。从是【零】可推以推出【非零】。从【非零】可推出是【零】。

  未坍缩的【牛顿无穷小量⚪】这种作为微积分【元存在】的特性，从【牛顿原始微积分】创立的第一天起，就注定了符合现实世界的不以人的意志为转移的【客观实在】的【牛顿原始微积分】不是【形式逻辑王国】的【臣民】而是【现代泛系最大似然逻辑王国】和【现代泛系人性化逻辑r-逻辑王国】的上等公民。完全可以不受【形式逻辑】（与【现代泛系最不可能逻辑】等价)的管辖。因此，【牛顿原始微积分】根本不存在所谓的【贝克莱悖论】！

  坍缩状态的牛顿无穷小量⚪要么处于【零】态，要么处于【非零】态。

  当牛顿无穷小量⚪引起任何变化时，就坍缩成【非零】态或某个非零的数。

  当牛顿无穷小量⚪不引起任何变化时，就坍缩成【零】态或零这个数。

  牛顿的后来者【柯西】之流所推出的【现代微积分】，是对【牛顿原始微积分】的【根本背叛】和【异化】。【现代微积分】抛弃了【牛顿原始微积分】的灵魂和【量子】---作为广义的薛定鄂猫或冯向军泛有序对的【牛顿无穷小量⚪】。

  所谓【无限逼近而永远不可达】概念是基于【形式逻辑】的对【牛顿无穷小量⚪】的【二元对立的坍缩态】概念的背叛和异化！

  【现代微积分】应以某种现代形式回归【牛顿原始微积分】的灵魂和【量子】！

参考文献

【1】冯向军，关于决定性事件的概率论，科学网，2017年7月16日。

http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1072125.html

【附录a】

 【现代泛系复杂逻辑】对【贝克莱悖论】和

【丁小平的工作】的反思

美国归侨冯向军博士

2018/8/30

（一）【贝克莱悖论】【1】

  贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为计算比如说x的导数，先将  取一个不为0的增量Δx，由(x + Δx)² − x²，得到2xΔx + (Δx)² ，后再被Δx除，得到2x + Δx，最后突然令Δx = 0 ，求得导数为2x 。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。

（二）丁小平的工作【2】

丁小平先生认为：以柯西为首的科学家建立了现在的微积分体系，现在的微积分体系也是个似是而非的体系。

（三）【现代泛系复杂逻辑】的反思

  正如量子力学的【薛定鄂猫】一样，牛顿原始创立的微积分中，其无穷小量也是一【广义的薛定鄂猫】。两者都是特殊的冯向军泛有序对：

【薛定鄂猫】=冯向军泛有序对（生，死）=0.5生+0.5死   （1）

【牛顿无穷小量】⚪=冯向军泛有序对（【零】，【非零】）

=0.5【零】+0.5【非零】   （2）

这其中，⚪代表牛顿原始创立的微积分中的无穷小量，在下称之为【牛顿无穷小量】。

【薛定鄂猫】和【牛顿无穷小量⚪】都是面对现实世界的，本来就可以和其它海量现实世界的【不以意识心为转移的客观实在】一样，不是【形式逻辑王国】的【臣民】，因此就完全可以不受【形式逻辑】的管辖。

  来吧！【薛定鄂猫】和【牛顿无穷小量⚪】，【现代泛系最大似然逻辑王国】和【现代泛系人性化逻辑-r逻辑王国】热烈欢迎你们！你们在这里完全没有所谓的悖论！你们所描述的客观实在完全符合【现代泛系最大似然逻辑】和【现代泛系人性化逻辑-r逻辑】的【思维法则】。

（四）【结论】

  按【现代泛系复杂逻辑】的【思维法则】来看，【牛顿无穷小量⚪】和【薛定鄂猫】一样，都是对客观实在【符合逻辑】的【完美描述】。【贝克莱主教的批评】、【柯西】和【丁小平】的工作，都将被历史证明是多余而【没有功劳有苦劳】的【有益探索】，为【后来人如在下者】认识事情的真相提供了不同的视野。

【1】https://baike.baidu.com/item/%E8%B4%9D%E5%85%8B%E8%8E%B1%E6%82%96%E8%AE%BA/2482725

【2】https://wenku.baidu.com/view/1da252e2b4daa58da1114a4b.html

【附录1】

【贝克莱悖论】的【现代泛系空花解悖法】详解

美国归侨冯向军博士

2018/8/31

（一）【贝克莱悖论】

牛顿原始的求【导数】或【流数】的方法是：

(f(x+Δx）-f(x))/Δx = F(x，Δx）|令Δx=0  = df/dx  （1）

这其中，x是自变量，Δx是自变量的增量，f(x)是函数f在自变量=x时的函数值。(f(x+Δx）-f(x))是对应于自变量的增量Δx的函数f的值的增量。df/dx就是函数f(x)在x处的【导数】或【流数】。

【举例】

当f(x)=x^2,

((x+Δx）^2-x^2)/Δx =（2x+Δx）|令Δx=0 = df/dx   (2)

df/dx= 2x    (3)

所谓【贝克莱悖论】就是指式（1）的第一个等号左边的Δx不等于零而第一个等号右边的Δx=0 。

（二）【贝克莱悖论现代泛系空花解悖法】

牛顿无穷小量⚪=广义的薛定鄂猫=冯向军泛有序对（【零】，【非零】）=0.5【零】+0.5【非零】   （4）

当牛顿无穷小量⚪引起任何非零变化时，牛顿无穷小量⚪必定坍缩成【非零】或某个非零的数。   （5）

当牛顿无穷小量⚪不引起任何非零变化时，牛顿无穷小量⚪必定坍缩为【零】或零这个数。   （6）

牛顿无穷小量⚪正好比虚空中的花或空花。当在虚空中引起非零变化时，空花就坍缩成其虚幻的存在：空花那花；当在虚空中不引起非零变化时，空花就坍缩成其实体、实在或真身：空。

非零变化是指事物T的状态从A变到了B ，B不等于A。

牛顿无穷小量⚪引起非零变化是指让事物T的状态从A变到了B ，B不等于A。

牛顿无穷小量⚪引起非零变化也可以说是引起了非零变化的【尚未定型的结局】。

当事物T处于从A变到B 的变化过程中时，或结局B尚未形成时，牛顿无穷小量⚪引起了非零变化。但是一旦事物T业已固定在结局B，或变化的结局业已定型在B时，牛顿无穷小量⚪就应该认为不再引起非零变化了，否则变化的结局就还没有定型。

在（1）式的第一个等号左边，作为牛顿无穷小量⚪的Δx引起了非零变化的【尚未定型的结局】：

(f(x+Δx）-f(x))/Δx

因此，就应该认为作为牛顿无穷小量⚪的Δx引起了非零变化。这时，按式（5），Δx必定坍缩成【非零】或某个非零的数。

在（1）式的第一个等号右边，作为牛顿无穷小量⚪的Δx所引起的非零变化业已定型。因此，就要认为作为牛顿无穷小量⚪的Δx不再引起非零变化。这时，按式（6），Δx必定坍缩成【零】或零这个数。

【贝莱克悖论】在【现代泛系】看来不是悖论。

【备考】

建立在【牛顿极限概念】上的【现代泛系极限概念】

美国归侨冯向军博士

2018/8/31

  【内容提要】：【现代泛系极限概念】的【关键要害】是把传统的【无限逼近】概念，转化为【作为广义的薛定鄂猫或冯向军泛有序对】的【牛顿无穷小量⚪】的二元对立的坍缩态的概念。看似和传统求极限的方法，包括求导数的方法极为相似，但是却从根本上消除了【贝克莱悖论】！是对【牛顿原始极限概念和求导法】的【完全合理性】和【无悖性】的【现代泛系论证】。

  牛顿说【1】：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等。”

  牛顿的朴素的极限概念有着与后继者截然不同的光辉思想。

（1）函数f(t）在随时间t的变化过程中(在有限的时间终止前），只能无限靠近其极限A，而不能等于其极限A。

（2）函数f(t）在【随时间t的变化而无限靠近其极限A】这一过程结束时（最终），就将等于其极限A。

  未坍缩的牛顿无穷小量⚪是一只广义的薛定鄂猫或冯向军泛有序对：

  冯向军泛有序对（【零】，【非零】）= 0.5【零】+0.5【非零】  （1）

  坍缩状态的牛顿无穷小量⚪要么处于【零】态，要么处于【非零】态。

  当牛顿无穷小量⚪引起任何变化时，就坍缩成【非零】态或某个非零的数。

  当牛顿无穷小量⚪不引起任何变化时，就坍缩成【零】态或零这个数。

  所以,就可以給出【现代泛系极限概念】的定义。

  【现代泛系极限概念定义】：

  当自变量x趋近于x0时，f(x)的极限为A等价于：

   当|x-x0|是处于坍缩状态的牛顿无穷小量⚪时，|f(x)-A|也必定是处于同类坍缩状态的牛顿无穷小量⚪：当|x-x0|因为还在变化而坍缩成【非零】或某个非零的数，|f(x)-A|也必定坍缩成【非零】或某个非零的数，而当|x-x0|因变化结束而坍缩成零时，|f(x)-A|也必定坍缩成【零】或零这个数。

【例1】

  当x趋近于3，x²的极限的是9。

  这是因为当|x-3|是处于坍缩状态的牛顿无穷小量⚪时，|x²-9|也必定是处于同类坍缩状态的牛顿无穷小量⚪：当|x-3|因为还在变化而坍缩成【非零】或某个非零的数，|x²-9|必定也坍缩成【非零】或某个非零的数，而当|x-3|因变化结束而坍缩成零时，|x²-9|也必定坍缩成零。

 【定理1】定义导数df/dx是 (f(x+Δx)-f(x))/Δx，在Δx趋近于零的极限。这就意味着：导数df/dx必须是按牛顿原始求导数法或求流数法所求出的导数。或者说：

df/dx=F（x,Δx)|令Δx=0，这其中，F（x,Δx)=(f(x+Δx)-f(x))/Δx，是(f(x+Δx)-f(x))/Δx的最终态。

证明：

因为df/dx是 (f(x+Δx)-f(x))/Δx，在Δx趋近于零的极限，所以：

 当|Δx-0|是处于坍缩状态的牛顿无穷小量⚪时，|(f(x+Δx)-f(x))/Δx-df/dx|也必定是处于同类坍缩状态的牛顿无穷小量⚪：当|Δx-0|因为还在变化而坍缩成【非零】或某个非零的数，|(f(x+Δx)-f(x))/Δx-df/dx|也必定坍缩成【非零】或某个非零的数，这时，df/dx不等于(f(x+Δx)-f(x))/Δx）。

但是，当|Δx-0|因变化结束而坍缩成零时，|(f(x+Δx)-f(x))/Δx-df/dx|的最终态也必定坍缩成零。此时

df/dx=（f(x+Δx)-f(x))/Δx，（f(x+Δx)-f(x))/Δx=最终态F（x,Δx)，而Δx=0。

因此：导数df/dx必须是按牛顿原始求导数法或求流数法所求出的导数。或者说：

df/dx=F（x,Δx)|令Δx=0，这其中，F（x,Δx)=(f(x+Δx)-f(x))/Δx，是(f(x+Δx)-f(x))/Δx的最终态。

【证毕】

【定理2】可按如下方法求极限：

如果x-x0因为还在变化而不等于零，就有|f(x)-A|不等于零。如果|f(x)-A| |令x=x0 = 0，则当x趋近于x0时，f(x)的极限等于A。

证明：

如果x-x0因为还在变化而不等于零，就有|f(x)-A|不等于零。如果|f(x)-A| |令x=x0 = 0。这就意味着:

  当|x-x0|是处于坍缩状态的牛顿无穷小量⚪时，|f(x)-A|也必定是处于同类坍缩状态的牛顿无穷小量⚪：当|x-x0|因为还在变化而坍缩成【非零】或某个非零的数，|f(x)-A|也必定坍缩成【非零】或某个非零的数，而当|x-x0|因变化结束而坍缩成零时，|f(x)-A|也必定坍缩成零。所以按定义，当x趋近于x0时，f(x)的极限等于A。

【证毕】

【举例】

当x趋近于5时，x²+3 的极限等于多少？

因为当|x-5|还在变化而不等于零，就有|x²+3-28|不等于零。又因为|x²+3-28| |令x=5 = 0，所以当x趋近于5时，x²+3 的极限等于28。

【无穷小的定义】：当自变量x趋近于x0时，f(x)的极限为0，则称当自变量x趋近于x0时，f(x）的极限为无穷小。

【无穷大的定义】：当自变量x趋近于x0时，1/f(x)的极限为0，则称当自变量x趋近于x0时，f(x）的极限为无穷大。当自变量的倒数1/x趋近于0，就说x趋近于无穷大。

【微分的定义】微分dy=(df/dx)Δx。这其中y=f(x)，df/dx是函数f的导数,Δx是自变量的增量。因为dx=(dx/dx)Δx=Δx,所以dx=Δx,dy=(df/dx)dx。函数的微分与自变量的微分之比dy/dx=函数f的导数=df/dx。

【举例】

y=f(x)=x³。df/dx=3x²。微分dy=(df/dx)dx=3x²dx。

  【现代泛系极限概念】的【关键要害】是把【无限逼近】概念，转化为牛顿无穷小量的二元对立的坍缩态的概念。

【备考】按【现代泛系极限概念】，导数df/dx必须是按牛顿原始求导数法或求流数法所求出的导数。根本没有所谓的【贝克莱悖论】。

【1】https://www.xzbu.com/4/view-13807.htm