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14.7 物以类聚 猫以群分
深度学习算法擅长聚类,比如把蓝点和黄点分类:
并且,同样螺旋图形,可以通过不同特征基匹配不同参数集合:
那么,同样图形的不同特征基的不同参数集合,有什么关系么?
当然有关系,因为同一图形的特征属性是不变的,无论它以什么特征基来表达。
我们知道,在线性空间中,同一对象的不同特征基的不同参数集,各自对应不同矩阵,这些矩阵具有相似关系:A~B
同样的,上面的多隐层(多层线性空间)中,同一对象的不同特征基的不同参数集是等价类。如果我们把张量看作是广义矩阵,等价类也存在类似于相似矩阵的表达式:
如果我们把P看作A到B的变换,则所有这样的P构成的集合,是一个群。因为相似变换不改变特征属性。
比如,螺旋图形参数集A经过g1变换到螺旋图形参数集B ,如下:
比如,螺旋图形参数集A经过g2变换到螺旋图形参数集C ,如下:
类似的,同一对象的不同特征基的不同参数集之间的变换还有g3、g4、g5、g6......gn
则,以变换g1、g2、g3、g4、g5、g6......gn为元素,组成集合G。注意,这个G不仅仅是集合,还是一个群。因为相似变换不改变特征属性。
尽管同一螺旋图形有不同的参数集A、B、C......,有不同的相似变换g1、g2、g3......,重要的是,同一螺旋图形特征属性对应同一个群G
同样道理,同一圆形不同参数集的变换h1、h2、h3、h4、h5、h6......hn为元素,组成集合H。注意,这个H不仅仅是集合,还是一个群。并且,重要的是同一圆形特征属性对应同一个群H
所以,只要我们得到了群G和群H,定义合适的度规张量,求出流形联络,就能演算螺旋图形和圆形的量化关系。
同样地,我们可以度量猫特征属性对应的群CAT
同样地,我们可以度量狗特征属性对应的群DOG 通过猫特征属性对应的群CAT和狗特征属性对应的群DOG,还能得到食肉目群: 向量特征属性交集,对应于群生成元并集: 进一步,可得哺乳纲群、脊索动物门群、动物界群等等。 相对于‘n阶a维’高阶复合特征属性张量,特征参数为‘m维’生成元的群,要简洁得多。
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