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群论的应用3:推导k·p模型哈密顿量

已有 790 次阅读 2020-1-12 19:51 |系统分类:科研笔记

k·p微扰方法是研究半导体和拓扑材料物理性质的有效方法。原则上,k·p模型哈密顿量可以根据波函数严格推导出来,但是过程比较复杂。另外,k·p哈密顿量中的参数还可以通过拟合第一性原理能带得到。但是推导k·p模型哈密顿量的具体形式这最重要的一步很多文献并没有给出详细过程。这里,本博文给出了一个推导四能带k·p有效哈密顿量的详细步骤。

1.      写出母操作的表示矩阵

例如我们研究的k点是Γ(0,0,0)点,其波矢群为D3h。费米面附近能带的对称性是Γ7Γ9(均是两重简并态)。查书《Properties of the thirty-two point groups》,可知Γ7的基函数是$\left( \left| \downarrow  \right\rangle ,\left| \uparrow  \right\rangle  \right)$,而Γ9的基函数是$z{{J}_{z}}\left( \left| 3/2,3/2 \right\rangle ,\left| 3/2,-3/2 \right\rangle  \right)$,进而写出群生成元(generated operators,也称母操作)的表示矩阵,如图 1所示。

G7G9.png

1   Γ7Γ9不可约表示的基矢和表示矩阵

哈密顿量在对称性操作下的表示矩阵为这些矩阵的直和:

Dmat.png

2.      计算“M矩阵在对称性操作的变换

将哈密顿量写为:$H=\sum\limits_{ij}{H_{ij}(\mathbf{k})\mathbf{Mij}}$的形式,Hij为哈密顿量的矩阵元,Mij为只有第i行第j列的矩阵元为1其他都为0的矩阵(M矩阵)。由于H为厄米矩阵Hij=Hji*,因此独立的Mij只有10个:

Mat.png

计算出Mij矩阵在群生成元操作下的变换:

\[D({{C}_{3z}})\mathbf{Mij}D{{({{C}_{3z}})}^{-1}},\]

\[D({{M}_{z}})\mathbf{Mij}D{{({{M}_{z}})}^{-1}},\]

\[D({{M}_{x}})\mathbf{Mij}D{{({{M}_{x}})}^{-1}},\]

\[D(T)\mathbf{Mij}D{{(T)}^{-1}}\]

3. 根据M矩阵的变化情况推导H的矩阵元

根据不变量理论:

$D(R)H(\mathbf{k})D{{(R)}^{-1}}=H(R\mathbf{k})$

可以判断哈密量矩阵元的对称性(即存在k的哪些项)。

a)      对角元素

一般都是先推哈密顿量的对角元素。例如,矩阵M11在上面四个操作下变化为:

M11.png

   由于M11C3z操作下不变,kx2+ky2,kz2C3z也不变,因此可以设H11=A(kx2+ky2)+Bkz2,其中AB为待定的实数。现在,H11自动满足Mz对称性。由于M11Mx操作下变为M22H11H22应该是关联的,因此需要将H11H22在一起考虑。由此,矩阵${{H}_{11}}\mathbf{M}11+{{H}_{22}}\mathbf{M}22$Mx操作下:

$D({{M}_{x}})({{H}_{11}}\mathbf{M}11+{{H}_{22}}\mathbf{M}22)D(M_{x}^{-1})\text{=}{{H}_{11}}\mathbf{M}22+{{H}_{22}}\mathbf{M}11$

而矩阵元\[{{H}_{11}}({{M}_{x}}k)\mathbf{M}11+{{H}_{22}}({{M}_{x}}k)\mathbf{M}22\text{=}{{H}_{11}}\mathbf{M}11+{{H}_{22}}\mathbf{M}22\]因此H11=H22。与之类似H33=H44。那么,有效哈密顿量对角元素可以写为:

Hdiag.png

如果设(因为kx2+ky2,kz2Mx操作下不变,因此对角项可以认为是这些项的线性组合)

\[{({{H}_{11}}+{{H}_{33}})}/{2}\;={{\varepsilon }_{0}}(\mathbf{k})={{C}_{0}}+{{C}_{1}}k_{z}^{2}+{{C}_{2}}(k_{x}^{2}+k_{y}^{2})\]

\[{({{H}_{11}}-{{H}_{33}})}/{2}\;=M(\mathbf{k})={{M}_{0}}-{{M}_{1}}k_{z}^{2}-{{M}_{2}}(k_{x}^{2}+k_{y}^{2})\] 写成一般文献的形式:

Hdig2.png

b)      非对角元素

第一、先推测矩阵只在该个对称性操作下改变相位的操作,并且优先考虑高次轴旋转对称性操作。如果Mij经过矩阵变化D(R)MijD(R)-1=eMij,就是要求HijR的操作下满足:Hij(Rk)=eHij(k)。第二、如果Mij经过操作变换变成了另外一个矩阵Mkl

\[D(R)(\mathbf{M}ij)D{{(R)}^{-1}}={{e}^{i\varphi }}\mathbf{M}kl\]

那么,需要将MijMkl在一起考虑,即:

\[D(R)({{H}_{ij}}\mathbf{Mij}+{{H}_{kl}}\mathbf{Mkl})D{{(R)}^{-1}}={{e}^{i{{\varphi }_{kl}}}}{{H}_{kl}}\mathbf{Mij}+{{e}^{i{{\varphi }_{ij}}}}{{H}_{ij}}\mathbf{Mkl}\text{=}{{H}_{ij}}(Rk)\mathbf{Mij}+{{H}_{kl}}(Rk)\mathbf{Mkl}\]

因此:

\[{{H}_{ij}}(Rk)\text{=}{{e}^{i{{\varphi }_{kl}}}}{{H}_{kl}}(k)\]   \[{{H}_{kl}}(Rk)\text{=}{{e}^{i{{\varphi }_{ij}}}}{{H}_{ij}}(k)\]

最后,根据所有M阵的变化关系写出的有效Hamiltonian模型是:

Heff.png

其中,ε(k)=C0+C1kz2+C2(kx2+ky2)M(k)=M0-M1kz2-M2(kx2+ky2)。这里的有效哈密顿量中的系数为待定实数,需要通过拟合第一性原理计算的能带得到。

说  明:

1. 如果有效Hamilton量的展开的阶数小(比如对角线上只考虑一阶),k·p Hamilton量的对称比体系的对称性高。

2.      这里推导过程使用的基矢顺序为$\left| \alpha ,\uparrow  \right\rangle ,\left| \alpha ,\downarrow  \right\rangle \left| \beta ,\uparrow  \right\rangle ,\left| \beta ,\downarrow  \right\rangle $(简单标记为$\left| 1 \right\rangle \left| 2 \right\rangle \left| 3 \right\rangle \left| 4 \right\rangle $),而一般文献(例如拓扑绝缘体Bi2Se3[Phys. Rev. B 82, 045122 (2010)]Dirac半金属Na3Bi [Phys. Rev. B, 85, 195320, 2012])给出的波函数基矢顺序是$\left| \alpha ,\uparrow  \right\rangle ,\left| \beta ,\uparrow  \right\rangle \left| \alpha ,\downarrow  \right\rangle ,\left| \beta ,\downarrow  \right\rangle $(即$\left| 1 \right\rangle \left| 3 \right\rangle \left| 2 \right\rangle \left| 4 \right\rangle $)。则需要将以$\left| 1 \right\rangle \left| 2 \right\rangle \left| 3 \right\rangle \left| 4 \right\rangle $为基矢的哈密顿量,转换为以$\left| 1 \right\rangle \left| 3 \right\rangle \left| 2 \right\rangle \left| 4 \right\rangle $为基矢顺序的哈密顿量,只需要将有效哈密顿量矩阵的第二行与第三行互换,第二列与第三列互换即可。



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2 唐刚 高炎

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