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石墨烯Dirac点的群论解释

已有 2989 次阅读 2019-10-13 16:11 |系统分类:科普集锦

   石墨烯的空间群为P6/mmm (No. 191),每个原胞内有两个碳原子,占据在(1/3, 2/3, 0)(2/3, 1/3, 0)位置,如 1所示。在费米面上,布里渊区的K点会形成一个Dirac锥,这个Dirac锥是由两个碳原子的pz轨道形成的。大家都比较熟悉用紧束缚模型解释Dirac的形成,但是鲜有用群论方法的解释。下面用群论的方法来解释这个Dirac点的形成


1    石墨烯的晶体结构和电子结构。用不同颜色标记AB位置的碳原子

在分析K点之前,先分析一下Γ点的能带。Γ点的波矢群为6/mmm (D6h)。由此,可以写出两个pz轨道在对称性操作下表示矩阵的特征标,如 1所示。根据可约表示的约化公式可知,$\text{ }\!\!\Gamma\!\!\text{ =}{{\text{A}}_{\text{2u}}}\oplus {{\text{B}}_{\text{1g}}}$,所以两个pz轨道在Γ点形成A2uB1g能带。用投影算符得到B1g的轨道为${1}/{\sqrt{2}}\;\left( \left| A,{{p}_{z}} \right\rangle -\left| B,{{p}_{z}} \right\rangle  \right)$A2u的轨道为${1}/{\sqrt{2}}\;\left( \left| A,{{p}_{z}} \right\rangle +\left| B,{{p}_{z}} \right\rangle  \right)$。对应的能级为:

20191013160757.png

1    Γ6/mmm (D6h)的特征标表和pz轨道表示矩阵的特征标

D6h.png

K点的波矢群是-6m2 (D3h)按照类似的方法可以得到两个pz轨道在-6m2对称性操作下的特征标。需要注意的是固体中的波函数是有相位的,比如在C3操作下,A格点变到A格点,但是有一个${{e}^{i\mathbf{k}\cdot (-\mathbf{a})}}\text{=}{{e}^{\text{-2 }\!\!\pi\!\!\text{ /3}}}$的相位,而B变到B格点后有一个${{e}^{i\mathbf{k}\cdot (-\mathbf{a}-\mathbf{b})}}\text{=}{{e}^{\text{-4 }\!\!\pi\!\!\text{ /3}}}$的相位。kK点的坐标,即k=(1/3, 1/3, 0)。根据特征标,两个pz轨道在K点形成简并的E"态,如 2所示。用投影算符的方法得到${E}''$的对应的态为$\left| A,{{p}_{z}} \right\rangle$$\left| B,{{p}_{z}} \right\rangle$,能量为$\varepsilon$。这个简并的${E}''$态即为石墨烯的Dirac点。

2    K点的D3h的特征标表和pz轨道表示矩阵的特征标

D3h.png

考虑自旋轨道耦合后,固体中的电子波函数为旋量波函数。波函数空间部分的操作矩阵为Dr(R),而对于自旋部分的操作矩阵为D(1/2)(R),那么旋量波函数是按这两个表示的直积

 ${{D}^{(\mathbf{r},1/2)}}={{D}^{(1/2)}}\otimes {{D}^{\mathbf{r}}}$   

变化的。由表示的直积知识可知,直积表示的特征标是构成直积的两个表示特征标的乘积:

                       ${{\chi }^{(\mathbf{r},1/2)}}(R)={{\chi }^{(1/2)}}(R)\otimes {{\chi }^{(\mathbf{r})}}(R)$  

直积表示是可约的,可以向而且只能向双群的附加不可约表示分解。因此,K点单群态E"(即${{\text{ }\!\!\Gamma\!\!\text{ }}_{5}}$)应向双群态的分解后的不可约表示。根据上式和 3,可知,

${{\text{ }\!\!\Gamma\!\!\text{ }}_{5}}\otimes {{D}^{1/2}}={{\text{ }\!\!\Gamma\!\!\text{ }}_{7}}\oplus {{\text{ }\!\!\Gamma\!\!\text{ }}_{9}}$

因此二维E"(即${{\text{ }\!\!\Gamma\!\!\text{ }}_{5}}$表示在考虑自旋轨道耦合后会变成两个不同的二维表示Γ7Γ9,所以考虑自旋轨道耦合后,K点的Dirac点会打开能隙。

3    双点群-6m2 (D3h)的特征标表。Γ15为单群态,Γ79为双群态,且${{\text{ }\!\!\chi\!\!\text{ }}^{\text{(1/2)}}}\text{(R)=}{{\text{ }\!\!\Gamma\!\!\text{ }}_{\text{7}}}$

D3hD.png

若破坏石墨烯AB子格对称性(例如把AB格点换成不同的元素的原子),体系的对称性变成了P-6m2K点的波矢群是-6 (C3h)。群-6 (C3h)是阿贝尔群,所有表示都是一维的。因此K点也会打开能隙,但是这种又有对称性破坏打开的能隙和自旋轨道耦合打开的能隙的拓扑性质是不同的。

另外,K点的Dirac点的形成还可以用群的诱导表示的方法来解释。相关理论可以参考文献Site Symmetry in Crystals-Theory and Applications》。诱导表示的推导比较繁琐,文献《Topological quantum chemistry [J]. Nature, 2017, 547(7663): 298 (B. Bradlyn, L. Elcoro, J. Cano, M. G. Vergniory, Z. Wang, et al.)》把所有空间群的位群的诱导表示都研究过了,作者们把结果并列于网站中Bilbao Crystallographic Serverhttp://www.cryst.ehu.es/cgi-bin/cryst/programs/bandrep.pl)。这种方法略。



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