摘要：本文定义了一种变进制，研究了十进制与变进制的转换。研究了正整数集合及其子集的若干情况。

说明：集合或子集中各数均按自小到大排列，第一个数指的是该集合或子集的最小数。

关键词：变进制    转换    正整数集合 

                     变进制及正整数集合 （修改01）

                  Guoyiti111

一．自定义变进制

1．定义：十进数 A＝amam-1……a3a2a1， m∈Z+ 可用变进制数 B表示。

设       B = 'bn'bn－1……'b3'b2'b1， n∈Z+，称为n节数。

其中：b1= 0、1、2、……、(2*P1―1)  

b2= 0、1、2、……、(P2―1)  

b3= 0、1、2、……、(P3―1)    

……              

     bn－1= 0、1、2、……、(Pn-1―1)    

bn= 1、2、……、(Pn―1)    

式中：奇素数 P1= 3 ，P2= 5 ，P3= 7 ，…，Pn，…     n∈Z+

（注：'b2'b1表示末2节的数值，不表示'b2×'b1，依此类推。）

节的含义与十进制“位”含义相同，但b4、b5、……、bn是多位数或一位数。

最右边之节为第末节, 次之为第末2节。'b2'b1为末2节。

最左边之节为首节，次之为第2节，依次类推。

每节数字前加上符号 '， 末3节可省略 '符号，首节不能省略 '符号。

2．十进制与变进制的转换

2.1  已知 十进数 A＝amam-1……a3a2a1

＝am*10^(m-1)+am-1*10^(m-2)…+a3*10^2+a2*10^+a1 ,   m∈Z+  

   式< 1-1 >

   则：变进数B = 'bn'bn－1……'b3'b2'b1 , n∈Z+           式< 1-2 >

    式中b1≡A MOD 6

b2≡(A-b1)/6 MOD P2

b3≡(A-b1- 2*p1*b2)/(2*p1*p2) MOD P3

   ……

bn≡(A-b1- 2*P1*b2-2*P1*P2*b3-……-2*P1*P2*……*Pn-1*bn) /

   (2*P1*P2*……*Pn-1) MOD Pn                      式组< 1-3 >

 且Pn-1*Pn-2*……*P3*P2*P1*2≤ A ＜Pn*Pn-1*Pn-2*……*P3*P2*P1*2

                                                     式< 1-4 >

   记为 'bn'bn－1……'b3'b2'b1 ( =amam-1……a3a2a1 )

例1-1  将 A＝2*10^3+3*10^2+1*10+1＝2311 转换成变进制的数 B

 解：∵ 11*7*5*3*2＝2310＜ A ＜ 13*11*7*5*3*2

       ∴ n＝5

将am之值代入式组< 1-3 >得：

b1=1           b2=0             b3=0

b4=0           b5=1

∴ B ＝ '1'0'001 ＝ 1* '1'0'000 + 0 * '1'000 + 0*'100 + 0*'10 + 1*'1

  记为 '1'0'001(=2311)

2.2  已知 B ='bn'bn－1……'b3'b2'b1 ,   n∈Z+

则 A = b1+2*P1*b2+2*P1*P2*b3+……+(2*P1*P2*…*Pn-1)*bn , n∈Z+

     式< 1-5>

例1-2  B = '1'10'645

        = 1*'1'0'000+10*'1'000+6*'100+4*'10+'5

  则 A = 1*2*3*5*7*11 + 10*2*3*5*7 + 6*2*3*5 + 4*2*3 + 5

      = 4619 

       = 4*10^3 + 6*10^2 + 1*10 + 9

3．溢出型变进制数

3.1 定义  若变进制数某节位上的数值允许超出该节位规定的进率，

          则这种变进制数称溢出型变进制数。

 例1-4：'1'0'001写成 '11'001，

       则'1'0'001为标准型变进制数， '11'001为溢出型变进制数。

例1-5：'1'0'0'531(=30199) = '13'0'531(=30199)  注：在第末5节位溢出    

                       = '12'11'531(=30199)   注：在第末4节位溢出 

3.2 十进制与溢出型变进制的转换

  3.2.1  已知十进数转换成溢出型变进制数  

      先按前面所述方法将十进数转换成标准型变进制数

      再根据需要在有关节位溢出，得到溢出型变进制数

例1-6  将 A＝3*10^4+0*10^3+1*10^2+9*10+9＝30199

    转换成第末5节位溢出的变进制数 YB

  解：∵ 13*11*7*5*3*2＝30030＜ A ＜ 17*13*11*7*5*3*2

       ∴ n＝6

将am之值代入式组< 1-3 >得：

b1=1           b2=0             b3=0

b4=5           b5=3             b6=1

∴ B＝'1'0'0'531＝1*'1'0'0'000 +0 *'1'0'000+0*'1'000+5*'100+3*'10+ '1

  记为 '1'0'0'531(=30199)

   要求第末5节位溢出，则

 YB='13'0'531(=30199)    ( ∵第末5节位向第末6节位的进率为13)

 3.2.2  已知 YB ='bn'bn－1……'b3'b2'b1 ,   n∈Z+

则 A = b1+2*P1*b2+2*P1*P2*b3+……+(2*P1*P2*…*Pn-1)*bn , n∈Z+

     式< 1-5>

例1-7  B = '13'0'531 

        = 13*'1'0'000+0*'1'000+5*'100+3*'10+'1

  则 A = 13*2*3*5*7*11 + 0 + 5*2*3*5 + 3*2*3 + 1

      = 30199 

二．正整数集合

1．奇数集合J与偶数集合U

J ＝ { x｜x是一正整数，且末节数为'1或'3或'5}

U ＝{ x｜x是一正整数，且末节数为'2或'4或'0}

 在J(或U)中，小于'1'0…'0 (共n个0，n∈Z+)的数组成子集，称为广义n节子集，记为GnJ(GnU)。  

 小于'1'0…'0 (共n个0，n∈Z+)且不小于'1'0…'0 (共n-1个0)的数组成子集，称为n节子集，

      记为nJ(nU)。

G1J={ x｜x是末节数为'1或'3或'5的正整数，且x＜'10 }  

G2J={x｜x是末节数为'1或'3或'5的正整数，且x＜'100 }

…                 …            

GnJ={x｜x是末节数为'1或'3或'5的正整数,且x＜'1'0…'0 (共n个0 n∈Z+)}      

GnU={x｜x是末节数为'2或'4或'0的正整数，且x＜'1'0…'0  (共n个0 ，  

      n∈Z+)}

  1J={ x｜x是末节数为'1或'3或'5的正整数，且'1≤x＜'10 }  

  2J={x｜x是末节数为'1或'3或'5的正整数，且'10≤x＜'100 }

…                 …            

  nJ={x｜x是末节数为'1或'3或'5的正整数，且'1'0…'0(共n-1个0)≤x＜'1'0…'0(共n个0 ，

        n∈Z+)}            nJ 称为n节奇数子集。

 J(或U)或nJ(或nU) 或GnJ(或GnU)可分为3个子集：

例 J={ J'1 ，J'3 ，J'5 } 。 其中，

J'1 ={ x︱x是末节数为'1的正整数 }

J'3 ={ x︱x是末节数为'3的正整数 }

J'5 ={ x︱x是末节数为'5的正整数 }

2．多级子集

定义：设m≤n，且m∈Z+，n∈Z+，末m节数相同的正整数组成的子集称为m级子集。

例2-1： J'1 为1级子集。

J'01(或J'03，J'05)，……，J'41 为2级子集。

…             …

性质1   1个1级子集可分为(p2*p3*……*pm)个m级子集, m∈Z+。

性质2   GnJ及其子集各有多少个元素？

用“#”表示元素个数，则：

      #GnJ= p1*p2*p3*…*pn， n∈Z+  。                      式< 2-1 >

性质3   GnJ'1 (或GnJ'3 ；或GnJ'5)有多少个元素

#GnJ'1(或GnJ'3或GnJ'5)=1            n=1时               式< 2-2 >

#GnJ'1(或GnJ'3或GnJ'5)= p2*p3*……*pn   n∈Z+且n≠1      式< 2-3 >

同理，#GnU'2(或GnU'4或GnU'0)=1        n=1时               式< 2-4 >

#GnU'2(或GnU'4或GnU'0)= p2*p3*……*pn   n∈Z+且n≠1      式< 2-5 >

3．合数子集与混合数子集

定义3.1  一个子集所有的数为合数，这种子集称完全合数子集。

定义3.2  一个子集最小数为素数或1，其余的数为合数，这种子集称不完全合数子集。

定义3.3   完全合数子集和不完全合数子集统称合数子集。

定义3.4  一个子集部分数(不包括最小数)为素数或1，其余的数为合数。这种子集称混合数子集。

     例2-2：J'3及GnJ'3是不完全合数子集。

            J'41及GnJ'41是完全合数子集。

 J'1（或J'5）及GnJ'1（或GnJ'5）是混合数子集。

性质4   1个m级子集若为合数子集，其最小数的最小素因数是Pi，则该子集所有数的最小素因数均是Pi。

例2-3：J'41所有数的最小素因数是P2 ；

   J'011所有数的最小素因数是P3 。

推论4.1   若1个n节正整数的末j节数(j≤n)的最小素因数是Pi(i≤j)，

         则这个n节正整数的最小素因数也是Pi(i≤j)。

例2-4：'301(=91)的最小素因数P3  ，

  则'1'301(=301) 和'1'1301(=2611)的最小素因数都是P3  。

推论4.2   若1个n节正整数的末j节数(j≤n)不是Pi(i≤j) 的整倍数，

         则这个n节正整数也不是Pi(i≤j) 的整倍数。

例2-5：'031(=19)不是P3(=7)的整倍数，

   则'1'031(=229) 和'1'1031(=2539)都不是P3 的整倍数。

性质5   1个m-1级子集分为Pm个m级子集，其中只有1个m级子集为最小素因数为Pm的合数子集,

      其余的(pm一1)个m级子集的数不含素因数Pm  。

 例：2级子集J'31={ J'031, J'131, J'231，……，J'631}

这7个3级子集中只有J'131是含最小素因数P3的合数子集，

其余的6个子集的数不含素因数P3  。

三．在变进制下，判断n节正奇整数j是否素数

步骤：①根据推论4.2，判断奇整数j是不是Pi(i≤n)的整倍数。

例如：在J'1中，J'41的数是P2的整倍数；

     J'011等4 个子集的数是P3的整倍数、……等。

②再判断奇整数j是不是Pk(i<k≤m , Pm2≤j )的整倍数。

例如：判断'13'5'4'131（=402829）是否素数?

    ∵ '131（=49）,而49是7的整倍数 。

    ∴ '13'5'4'131（=402829）是7的整倍数，不是素数。

       402829=7*57547

本方法的本质还是埃氏筛法，但在埃氏筛子的前面加了小筛子。

           （正文完， 后有附表）