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光学教学笔记之几种速度 精选

已有 3727 次阅读 2019-12-18 21:50 |个人分类:大众物理学|系统分类:科普集锦


 

光的传播有几种重要的速度:相速度、群速度和信息传播速度。关于它们的区别,课本上已经讲得很好了,曹则贤老师在《物理学咬文嚼字》里也有一篇文章(附在后面),我就不讲了,简单说几个重点。

在真空中,这三个速度都等于光速,因为真空没有任何色散,折射率对于所有频率的光都是1。在非真空介质中,信息传播速度永远不可能大于真空中的光速,这是相对论的因果关系决定的,但是相速度和群速度并没有这个限制。相速度反映的是单色光的性质,而单色光只有一个频率,是无穷长的波列,是完全理想的情况;群速度反映的是多色光的性质,有不止一个频率,因而会形成拍频导致的波包。

单色光由$A\cos(\omega t- kx)$表示(省略了初始相位),相速度就是$v_p=\omega / k =c/n(\omega)$。

两个频率不同的单色光(为了方便起见,假设它们的振幅相同,都是1 )可以用$\cos(\omega _1  t- k_1 x)$和$\cos(\omega _2 t- k_2 x)$,利用中学学过的三角函数关系,可以得到二者的和为

$2\cos(\frac{\omega _1 - \omega _2}{2} t-\frac{ k_1 -k_2}{2} x)\cos(\frac{\omega _1 + \omega _2}{2} t-\frac{ k_1 + k_2}{2} x)$

包括低频变化(包络)和高频变化(振荡)的两个部分,二者的相速度分别是$\frac{\omega _1 - \omega _2}{k_1 -k_2}$和$\frac{\omega _1 + \omega _2}{ k_1 + k_2}$。

如果两个频率相差不大,折射率的变化不是特别剧烈,那么,高频振荡部分的相速度接近于单色光的相速度,然而,低频包络部分的相速度却可以显著偏离于单色光的相速度,这就是“群速度”。

如果光的频率均匀地分布在一小段区间里,当然可以用积分来求和(结果是$\sinc$函数),但同样可以用中学的三角函数关系来理解:以平均值为中心,两两对称地选出单色光的对子求和,高频振荡部分的相速度都等于平均频率处的相速度,而低频包络部分的相速度(“群速度”)等于$\frac{\Delta \omega}{\Delta k}$,在很小的区间里,这个值其实就是平均频率处的斜率,并不依赖于$\Delta \omega$的大小。

如果考虑波矢$k$对$\omega$依赖关系的二阶导数,就会发现$\sinc$函数变成了高斯波包,具体计算无法用中学数学来理解,但是对于高等数学来说,仍然是很简单的,这里就不讲了。

 

真空的折射率是1,非真空介质的折射率可以大于1(通常都是这样的),也可以小于1(比如在适当的原子气系统里),甚至还可能是负数(通常是针对一些特殊的频率波段,例如微波,这些研究大多属于最近二十年非常热的变换光学领域)。最后这个只能是提一下,说是有这么回事情,具体情况这里讲不来的。

 

 

 

曹则贤

物理学咬文嚼字之九十八:Phase:a phenomenon

《物理》2018 Vol. 47 (5): 332-340

物理学咬文嚼字之九十八:Phase:a phenomenon.pdf




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