一样水养百样人

最近在微信群里与谢力老师聊天，听他说自己证明了霍曼转移的全局最小性，也去看了看他的文章。现在我就来说说霍曼转移这件事，主要是想由此说明，搞物理的人和搞数学的人，他们对于同一个问题的关注点是很不相同的。

人造卫星可以在不同的轨道上绕地球转动，就像行星可以在不同的轨道上绕太阳转动一样。有时候，人造卫星需要从一条轨道转移到另一条轨道，这就需要改变卫星的速度。因为卫星携带燃料的成本很高，所以就需要考虑，怎样才能使用最少的燃料来完成卫星的变轨任务。

与卫星转移轨道所需要的时间相比，卫星开启发动机变速（然后关闭发动机）的过程是很短的，可以认为是瞬态过程。为了实现变轨，卫星最少需要两次变速：从较低轨道出发时一次，到达较高轨道时又一次。这就是两点变轨问题。显然，如果卫星可以多次变速的话，就更容易实现变轨了——但是能不能节约燃料，就是另外一个问题了。

1925年，在苏联成功发射第一颗人造卫星之前32年，德国工程师霍曼（Hohmann）博士就发现，在两条倾角相同、高度不同的圆形轨道间转移卫星，能量最小的方法所采用的转移轨道是一个椭圆轨道，其近地点在较低的高度，而远地点在较高的高度。

简单谈谈两点变轨问题。

学过大学普通物理的人都知道，卫星轨道取决于两个参数：卫星的总能量（卫星的动能+卫星在地球引力场中的势能），卫星的角动量。变轨前后的两个圆形轨道，这两个参数都是不一样的：高度较低的轨道，总能量和角动量都小；而高度较大的轨道，总能量和角动量都大。需要注意的是，卫星的总能量是负数，因为引力势能是负数，而且其绝对值是动能的两倍。

卫星的变速是通过向后喷出高速气体来实现的，在这个过程中，动量守恒。喷出气体的速度是一定的，但是喷出气体的方向是可以变动的。动量变化的数值越大，需要消耗的气体就越多，但是，这与动量变化的方向无关。所以，霍曼变轨问题就转化为如何让给定的动量变化（大小确定而方向不定）发生最大的效力。

在搞物理的人看来，这个问题很简单。

首先，卫星有个初始动量，也就是具有初始的方向，而动量的变化也有个方向，最终的结果显然取决于这两者的相对方向。对于能量来说，二者同向时的变化最大（动能是速度的平方项）；对于角动量来说，也是二者同向时的变化最大。那么显然就应该让动量的变化沿着初始速度的方向，也就是说，动量的变化方向沿着初始圆轨道的切线方向。这次变速以后，卫星轨道由较小的圆变成了一个更大一些的椭圆，椭圆的大小取决于动量的变化。

动量的变化量是多少呢？椭圆轨道至少要跟外面的大圆搭上界吧。要么是相切，要么是相交。如果相交的话，两个轨道在相交点的速度不是同一个方向，需要用一部分燃料来消除这个方向上的速度差异。而且，相切的椭圆轨道的能量比相交轨道的能量小。考虑到这两个因素，就可以得到结论了，动量的变化量应该让变动的椭圆轨道刚好与外面的大圆相切。

至于说到达切点后的二次点火，就更简单了。这时候轨道在一起了，方向也一样，就是总能量和角动量差一点，补齐了就可以了。而且用于补齐的方向一定是这个方向的。

好了，对于搞物理的人来说，霍曼转移的问题就这样搞定了。

对于搞数学的人来说，他们可不是这么想的。他们想要严格的证明。你干嘛要限制我设定动量的方向？万一有个方向效果比这个还好呢？你能保证吗？你能证明吗？照我这种搞物理的看来，这不是显然的嘛，还有什么好说的呢？可是搞数学的就是不答应。谢力老师的工作就是证明上述方式是个“全局最优解”，谁也不会比这个解更好了。他还找到了一个“局部极小值”，以便说明这个“全局最优解”并不一定就是最优的，必须证明了才行（从数学的严格意义上来说）。可是在我看来，那个局部最小值其实就是先把卫星完全调一个头，然后再找个彻底相反的方向上再次采用前文所述的霍曼转移方式。这种不合理的方式，我们搞物理的根本就不会考虑的，完全没有道理啊——从物理上来说没有道理。

谢力老师的证明，我是能够看懂的，如果我愿意，我想我自己也是能够证明出来的。但是，我早已告别了用严格的数学证明而非生动的物理图像来指导自己工作的阶段，所以，我现在压根就不会像他那样考虑问题。

我这里比划的方法，谢力老师肯定也能够看懂的，只要他愿意，应该也是能够这样比划的。但是他肯定不愿意放弃自己的严格数学证明而采用我这种比比划划的方法，他现在根本就不会像我这样考虑问题。

这就是搞数学的和搞物理的差别。

PS:

其实，现在做这类问题都是用计算的了。如果处理更复杂一些的问题，比如，变轨前后的不是圆轨道，比如，考虑动量变化需要的有限时间，不管是物理还是数学，都会太繁琐的。但是，这种比划式的物理可以指导你进行计算的大致途径，严格的数学证明能够帮助你对自己的计算方法建立信心。

PS:

Li Xie, Yiqun Zhang and Junyan Xu, Hohmann Transfer via Constrained Optimization, arXiv:1712.01512

霍曼转移

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