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用几个数值的例子来说明数学和物理的区别。数学常数$\pi$、$e$、$\sqrt{2}$ 和 $\ln 10$;$\mu$子的旋磁比是最精确测量的物理量之一,实验值和理论值的比较;$e^{\pi \sqrt{163}}$的数值。
用三角形面积来说明如何求积分,用中学数列计算的方法来求三角形的面积,由此来说明$\int x dx =x^2/2$。然后是常数函数和抛物线函数的积分,仍然是数列求和。简单提到了两边夹定理的精神。由此推广到$\int x^k dx =x^{k+1}/(k+1)$,数列求和的要点在于$n^k \approx ((n+1)^{k+1}-n^{k+1})/(k+1)$。由此引申到二项式定理$(1+x)^n$和杨辉三角(帕斯卡三角)及其简单的证明。最后是牛顿的贡献,把指数为整数的情况推广到任意实数$\alpha$,即$(1+x)^{\alpha}$的二项式展开。简单提到了$\alpha=n/m$有理数的情况是如何证明的,关键在于认识到$((1+x)^{1/m})^m=1+x$,然后再用待定系数法。可以用$\sqrt{1+x}$练练手。在此过程中,一直向学生强调,这些都是启发式的说明,根本不是数学上严谨的证明,这么讲的主要原因在于没有时间、而且也没有必要,抓住主要矛盾即可。
二项式定理同样可以用于微分的情况,也是用幂函数来说明。由此就知道了幂函数的微分和积分。其他初等函数原则上可以展开成幂级数的形式(有时候可能是无限的幂级数求和),形式上的微分积分就可以得到结果(不要考虑严格的证明!牛顿、欧拉他们也没有那么严格)。积分微分的相互关系,也就是牛顿-莱布尼茨公式。
理解了积分微分的原则,自然就可以推广到线积分、面积分和体积分的情况。还可以推广到多变量的微分和积分(但是课堂上并没有讲)。
理解积分只需要会做一道题就可以了:球对称物体对球外质点的万有引力等于整个球的质量缩到球心成为一个质点的情况。这是当年困扰过牛顿的问题,把它搞定了,积分应该就没问题了。
跟学生们说,从我到教室开始,到正式上课之前,是娱乐时间,大家可以找些问题瞎扯扯,总胜过坐在那里干瞪眼。
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