众所周知，我们开始了解并重视相位，其实还是从薛定谔方程开始的，在薛定谔方程中我们可以很自然的求得物质波的一个相位，即动力学相位（时间对能量的积分）。后来魏尔、伦敦以及克莱因的努力，使得人们发现电磁场其实也能以最小耦合导数的形式纳入到薛定谔方程（我这里所提到的薛定谔方程是包含狄拉克方程的广义形式），这也是后来的规范场的雏形。从那时候起，人们注意到电磁势可以像类似于动力学相一样对相位产生影响，那么这是不是人们以前所发现的那个动力学相呢？1959年，电磁势所导致的AB效应使得人们相信情况远没有这么简单。
   理解这个问题还需一直等到1984年，Berry关于几何相位的杰出工作，终于使得人们相信，与动力学相位不同，在自然界中还存在着一种新的相位——几何相位。
   在这里我要发一下感慨，一些物理学界的朋友很多时候把物理和数学给割裂开，认为物理思维不同于数学思维，但其实不然。数学的作用除了使得我们的物理表述严格之外，它还可以帮助我们抓住我们在物理思维中可能漏掉的东西。所以“数学是大自然的语言”这种说法我是完全赞同的，因为我接下来要讲的东西，正与此相关。
   考虑一个简单的自旋1/2的二态粒子系统，这个系统的态矢是一个二行的列矩阵，每一行都由一个复数表示，那么这个列矩阵是由四个未知的实数参量所决定。如果这个系统满足薛定谔方程，那么我们将很容易求出这个系统的动力学相位。
   现在我们不考虑薛定谔方程，但考虑态矢归一化（即总几率为一），那么显然态矢的四个未知实参数变成了三个，有趣的是归一化的过程给出了一个三维的球面(动手一算即可看到这个球面方程)，为了简单起见，我们只考虑单位球面，那么我们只需要考虑一个二维球面即可。
   有趣的情形出现了：态矢的归一化，直接导致态矢的希尔伯特空间是一个二维球面。
   学习过黎曼几何的朋友可能都会明白一件事情，那就是“我们在球面上平行移动一个矢量，当矢量从南极先后沿经线和纬线再重新回到南极时，这个矢量的方向将发生偏转，这个偏转度与这个矢量走过的立体角大小有关”。
   同样的情形就是，当我们将这个自旋1/2的二态粒子系统的态矢沿着二维球面移动一个回路时，它的方向也会发生改变，即移动一个回路之后，这个态矢会乘上一个模为一的复数因子，这个复数因子与态矢在球面上移动回路所张开的立体角大小有关。而这个复数因子就是我们所谈到的Berry相因子。
   但是如果我们将这个球面撕破，那么就无所谓Berry相因子了。简单的说，即是，如果态矢是沿着平面移动那就无所谓Berry相位。Berry相位的出现，仅仅是一个内在的拓扑效应，即球面并不同胚于平面，只要我们去除掉球面的南北南极中的任何一点，那么Berry相位就不会出现。
   在前面所谈到的AB相位就是一种Berry相位，AB相位出现的前提条件是，电子所经历的回路中存在着磁通量，当然电子本身并不需要去碰触磁通量。如果电子所经历的回路路径中不存在磁通量，那就无所谓AB相了。
   换句话就是说，这种几何相位不同于动力学相位的地方就是：它是完全依赖于路径的。对于开路径来说，我们可以做规范变换使得这个所谓的几何相位不存在，但是对于闭合路径，就远远不是那么的简单，只要路径不平庸，Berry相位就会显现。熟悉纤维丛的朋友可能已经意识到了这就是“主丛上的联络”。
   正是因为1984年之前物理学界没有人会去研究希尔伯特空间的独特的几何特性，使得Berry相位的发现一再被延迟，因为物理学家并不需要了解希尔伯特空间的整体特性，他们觉得那是数学家做的事情。然而历史的教训就是，这使得一个重大发现被延迟了60年之久，当然最后理解这个Berry相位与“主丛上联络”的关系的人是一位数理学家Simon。
   自从1984年之后，Berry相位一再被各类实验所证实，有趣的是自从20世纪20年代开始，实验中其实就一直在发现Berry相，只不过没有人明白，所以就一直被放过了，直到1984年之后，以往的实验才被理解。
 

PS：还说一点闲话，Berry相位尽管被发现，但是其背后更深层次的微分几何意义还没有被一些物理学者所意识到，而这些物理学者就包括Berry教授自己。这个意义就是：薛定谔方程的微分形式可能导致零Berry相位！

至于原因可见论文：

Yong Tao, Necessity of integral formalism, Commun. Theor. Phys. 56 (2011) 648–654

Yong Tao, Sufficient Condition for Validity of Quantum Adiabatic Theorem, Commun. Theor. Phys. 57 (2012) 343–347