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[转载]二项式与小苹果

已有 1509 次阅读 2016-5-13 17:57 |个人分类:人物纪事|系统分类:人物纪事|文章来源:转载

牛顿是一个当今世界人人都要熟悉的人物,所以关于他的生平、轶事之类的内容就不必多费笔墨了。让我们直奔他的两项伟大成就,微积分与牛顿力学。


牛顿爵士(Sir Isaac Newton, 1643-1727), 英国数学家、物理学家和天文学家。牛顿是数学和物理学的开创性人物,他的《流数术》和《基于无穷多项式的分析》开启了微积分这个数学领域,而其《自然哲学之数学原理》则奠定了经典力学的基础。此外,他还第一个观察记录了棱镜对日光的折射,提出了光的微粒说。牛顿被认为是人类历史上最伟大的科学家。他的墓志铭是英国诗人Alexander Pope仿照《圣经》的第一句撰写的:“Nature and nature's laws lay hid in night; God said “ Let Newton be!” and all was light (自然和自然的定律隐藏在暗夜中;上帝说“让牛顿来吧”,于是宇宙一片光明)。”

牛顿是一个当今世界人人都要熟悉的人物,所以关于他的生平、轶事之类的内容就不必多费笔墨了。让我们直奔他的两项伟大成就,微积分牛顿力学

,看看是什么激发了他的灵感,而牛顿又是如何将灵感的火花拓展成学问的体系的。

英文里提及微积分,会用 the calculus 的说法,就象提及欧几里得的《几何原本》会用 the elements 一样。加上定冠词 the,就强调了所指内容是令人崇敬的独特存在。微积分在过去对许多人来说就是高深学问的代称,也许这种局面还会持续很长时间。

英文中积分一词是 integral calculus,微分是 differential calculus。中文把 calculus 翻译成微积分,其实这个词本意应该是计算、一种计算体系。求极值,以及求二维几何体的面积和三维几何体的体积等问题,是一些古老的问题。古代中国人、希腊人早就得到了一些结果。在17世纪后半叶,关于无穷小分析已经有了很多的观点、方法和具体发现,是到了有人将之组织成一门崭新学问的时候了。德国的莱布尼兹1684年发表了一篇求最大、最小和切线新方法的文章,其中用到了 calculi 一词。等到1696年法国人洛毕大 ( Guillaume de L’Hôspital )写出了第一本这方面的教科书,微积分,the calculus,就成了这门新学问的名字。

虽然历史上有牛顿和莱布尼兹关于微积分发现优先权的争论,但有一点是肯定的,牛顿是研究和发现了微积分的。那么,牛顿发现微积分的关键一步是什么呢?是对二项式展开的推广

二项式展开,我们在初中就开始学了,对下面的公式大家都很熟悉:

 

只要愿意,可以得出任意次方二项式,n是自然数,的展开。所有二项展开式的系数被总结在杨辉三角(西方人称为Pascal triangle )中(图1)。杨辉三角很容易记住:每一行都比上面一行多一项,且总是以1开始和结束,中间的数字都由上一行相邻的两个数相加得到。千万不要轻易认为你懂得了杨辉三角,这类数学对象包含内容之丰富与深刻是常人无法想象的。

 

图1  杨辉三角,第n行的数字就是对应的展开式中各项的系数。

 

二项式展开这样的知识,对我们一般人来说就是僵硬的教条。可是,在牛顿眼里,知识是可以拓展、发展的,是用来超越的。伟大的牛顿就把上面的二项式展开公式拓展到指数是分数、甚至是负的情形, 即他不仅会展开这样的二项式,还会展开这样的多项式。牛顿给出了的展开式的一般表达,其中P, Q是任意的实数,m/n是一个分数, 即

 

 

 

 

 

这里的A, B, C, D…代表在该字母出现前的那一项表示。当然这样的展开包括无穷多项。牛顿用对的展开来验证他的展开式公式是否正确,他发现的展开为。对这个式子的右边求平方,可以发现结果为无穷级数,大家可以自己验证这一点。这是一个人所众知的等比级数,其和就是,这证明了上面的展开是正确的。世界真奇妙,而这奇妙需要牛顿这样的人去揭开蒙在其上的面纱。



这样看来,形式的无穷级数可以表示一般的函数f(x)。牛顿进一步地发展了求逆级数的方法,即从无穷级数出发,去得到级数。二项式展开公式的推广和求逆级数的方法,是牛顿发展微积分的重要工具。


有了这样的二项式展开,牛顿要证明曲线在0到任意x (x>0)的一段内所覆盖的面积为。牛顿关于这个问题的论证过程给人以杂乱无章的感觉,且包含很大的逻辑漏洞,因此被誉为是“一种简洁的难以理解的形式”。不管怎样,牛顿的这个论证,用现代数学语言可表述为:对于任意实数 a ,函数的一阶微分为。有了这个关系,微积分的发展算是踏上了平坦大道。

在牛顿那里,微分被称为流数术(fluxion),积分被称为逆流数术 (the inverse method of fluxion)。 Fluxion,和其它表示流动的英语词如flow (流动),fluctuate(涨落),flux (流量)等是同源词,都和流动或者速度有关。把位置随时间的变化当作时间的函数,这个函数的流数,或者微分,就是速度。万物皆流,物理学的方程,本质上就是流的方程。

关于牛顿,有个神奇的传说,说牛顿某日坐在苹果树下,一颗苹果[1]碰巧掉到了他的头上,这让他顿悟了万有引力的奥秘。这个传说有人说是虚构的,但也见于他的熟人后来的文字中。但是,因为牛顿的巨大影响力,人们倒是宁愿相信这个传说是真的。牛顿的母校剑桥大学的三一学院就种了这么颗牛顿的苹果树 (图2),说是曾经给牛顿带来灵感的那棵苹果树的后代。这是一个关于伟大发现时刻抑或是带来伟大发现之灵感的记忆符号。人们很容易就引种了牛顿的苹果树的后代,但能砸出灵感的苹果一直没能等到牛顿那样的能砸出灵感的脑袋。

 

图2  剑桥大学三一学院里后来种的苹果树。

且不说是否有这样一棵苹果树,那树上的某个苹果掉到了牛顿头上激发了牛顿的灵感,从而使他参透了万有引力的奥秘。可以肯定的是,牛顿在研究行星运动的规律时,是注意到了地球上的落体运动的,而成熟果子的掉落是再自然不过的自由落体运动。实际上,早在牛顿出生之前,落体定律已经由伽利略得出,而行星运动三定律也已经由开普勒悟出。

很久以前,人们认为是力造成了运动。人类认识史上的一个伟大进步是关于惯性定律的认识。物体都有惯性,不受外力的物体保持静止或者匀速运动(这一点后来被表述为牛顿第一定律,但其实早在牛顿之前已被人们所认识)——力是运动改变的原因。那时候,人们谈论的力是压力、摩擦力、推力这类通过接触才有的力(contiguous force)。

天上行星的运动让无数人好奇,历史上许多古老的文明都有关于行星运动的观测记录。开普勒于1609-1619年间基于第谷的观测数据,把太阳当成是行星运动的参照点[2],从而总结出了著名的行星运动三定律。其第一定律说行星在以太阳为焦点之一的椭圆轨道上运动,第二定律说行星在单位时间内相对太阳扫过相同的面积。为什么是这样?或者说是什么形式的力让行星采取这样的运动形式?人们想回答这样挑战性的问题。

行星向前飞行,还不断地改变其运动的方向和快慢。一个直觉的想法是,有一股指向前方的拉力牵着行星往前运动。可这个力从哪里来?如果有,那么这个力的来源一定不是接触力,而应该是一种远距作用或者超距作用(action-at-a-distance)。认识到存在超距作用是人类认识史上的一大进步。那么这种超距作用力又该是什么样的?

也许真的是落下的苹果给了牛顿以灵感。 苹果一旦脱离了和树的连接,就立即直往下朝地面落,说明地球对它的超距作用一直都在。也许地球对天上的月亮、太阳以及那些星星都存在这样的超距作用,当然太阳也应该以这样的超距作用影响着行星的运动。另一方面,苹果掉到脑袋上砸得脑袋疼,那是因为脑袋挡在了它的去路上。如果没遇到人的脑袋,它会一直落到地面上。如果没有地面或者在地面上掘口井,苹果则会一直朝下落去。老天,那苹果会一直落到地球中心去。 那个超距作用力,具体地说地球对苹果的吸引力,是一直指向地球中心的!此时,牛顿该是悟到了引力或者重力的真谛:引力存在于所有物体之间,是超距作用,是有心力(central force)

那么,假设太阳和行星之间存在的引力是有心力,这能解释观测到的行星轨道的性质即开普勒三定律吗?牛顿假设物体间的引力是沿两者连线的有心力,且大小与距离平方成反比,他用平面几何证明了这样的行星轨道确实是以太阳为一个焦点的椭圆。有了这个结论,开普勒第二、第三定律的证明就好办了。牛顿关于开普勒第一定律的证明被收录在他的《自然哲学之数学原理》一书中。图3所示一英镑的纸币上是简化了的牛顿证明所用的图解。笔者观此图及证明时,如赤贫之人面对二斤重的钻石,被惊讶得手足无措。有人若觉得自己平面几何学得好,不妨试试看能否看得懂牛顿的证明过程。后来,钱德拉塞卡重写了这个证明,当然啦,那证明就长了很多,而且也未必更容易懂。

 

图3   一英镑纸币背面的牛顿和他的典型事迹。左上部分的图案和图中牛顿所持书中图案一致, 是《自然哲学之数学原理》中关于有心力下行星轨道为椭圆的几何证明。

有了微积分,有了万有引力,经典力学这门科学终于建立起来了。重要的是,牛顿的工作是理性思维的典范。牛顿出生时,科学在西方世界还没能取得对中世纪愚昧的优势地位,到他去世时,西方已经步入理性时代,牛顿于此厥功甚伟。

牛顿给笔者最深刻的启示是,一个伟大的科学家不仅要有深刻、大胆的思想,还要有证明自己思想正确的能力。将不断涌现的思想和证明(或者演示)编织在一起,那就是知识的体系。

后记有趣的是,古文里有“牛顿”的说法。曹操《秋胡行》有句云:“牛顿不起,车坠谷间。”

本文原为曹则贤著《一念非凡——科学巨擘是怎样炼成的》(外语教学与研究出版社,2016.5)的第六篇,此次发表时略有增添。

注释1.这是人类文明史上第二个著名的苹果。第一个是蛇引诱夏娃的那只苹果;第三个是一只沾上氰化钾的苹果,天才阿兰·图灵咬去一口结束了他富有创造力的生命。2.这是人类文明史上的又一个伟大事件,人类把看待天体运动的参考点从自己的脚下挪到了别的地方。参考文献1.Gottfried Wilhelm Leibniz, Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, & singulare pro illi calculi genus, Acta eruditorium, 467–473,1684. 一种同样适用于分数或无理数情形的求最大、最小和切线的新方法以及对一类特例的计算(拉丁文)。2. G. F. A. de L’Hospital, Analyse des infiniment petits, pour l’intelligence des lignes courbes, Paris, 1696. 用于理解曲线的无穷小分析(法文)。3. William Dunham, The calculus gallery: masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton university press (2005). 中译本为《微积分的历程—从牛顿到勒贝格》。4. Richard S. Westfall, Never at rest: a biography of Isaac Newton,Cambridge university press (1983).

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