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此词一出,余词尽废

已有 6483 次阅读 2013-9-21 13:21 |个人分类:数理|系统分类:教学心得

中秋佳节,明月当空,很多人情不自禁就会想到苏东坡的《水调歌头-明月几时有》。这首词是千古绝唱,任何以“中秋”、“明月”为题的诗词,在它面前都黯然失色。难怪北宋年间的安徽人胡仔同志在《苕溪渔隐丛话》中说:“中秋词自东坡《水调歌头》一出,余词尽废好一个“余词尽废”,让别人无可奈何,只能叹服。再欣赏一遍吧:

水调歌头-明月几时有

明月几时有,把酒问青天。不知天上宫阙,今夕是何年?我欲乘风归去,又恐琼楼玉宇,高处不胜寒。起舞弄清影,何似在人间!
     
转朱阁,低绮户,照无眠。不应有恨,何事长向别时圆?人有悲欢离合,月有阴晴圆缺,此事古难全。但愿人长久,千里共婵娟!

       在自然科学领域,这样的事情也是很多的,高人一出,他人尽废,不得不叹服。下面举数学中的两个例子。

. 陶哲轩与素数等差数列

由素数构成的等差数列(这里的数列指有限数组)称为素数等差数列。比如(357)是由3个素数构成的等差数列,(517294153)是由5个素数构成的等差数列。人们想知道这样的数列有多少,于是就产生了下述问题:

问题:对给定的k(k>2),存在由k个素数构成的等差数列吗?如果存在,有多少个?

这个问题很难,耗费了很多数学专家的心血。顺便指出,这个问题与孪生素数猜想没有关系,等差数列至少有三个数,且不同的等差数列,可能会有不同的“等差”。(张益唐先生应该考虑一下这些“等差”有没有上界?)。

1939年,荷兰数学家Corput证明:存在无穷多个由3个素数构成的等差数列。那么,由4个素数构成的等差数列的数目也是无穷多吗?5个、6个的情形又如何呢?都是大难题,数学家们束手无策。但是,虽无实质性进展,论文还是不断出现。2002年,陶哲轩和格林证明了美妙而惊人的结论:

定理:对任意给定的k,存在无穷多组由k个素数构成的等差数列。

他们的论文于2008年发表在数学界的顶尖杂志《Ann. of Math.》上,见:

Green Ben; Tao Terence, The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Ann. of Math. (2)167 (2008), no. 2, 481–547.

此文一出,余文尽废!

.  Thurston与叶状结构

“叶状结构”( foliation)是拓扑学中的课题,主要考虑将高维流形分解为低维流形的“并”(要并得有规则)。例如,我们可以用直线拼出二维平面,但不能用光滑曲线拼出二维球面,因为二维球面上的向量场必然有零点。有一个重要的问题:

问题:n维闭流形上是否存在光滑的(n-1)维叶状结构。

这个问题太难,人们只能考虑特殊的闭流形,就连球面的情形也不清楚。大数学家诺维科夫证明了三维球面上存在二维紧叶状结构,但五维球面上是否存在四维叶状结构,仍是一个没有解决的难题,一般情形更是一无所知。当然,相关的论文还是大量出现。1976年,美国数学家Thurston的一个简洁优美的惊人结论横空出世:

定理. n维闭流形M上存在光滑的(n-1)维叶状结构当且仅当M的欧拉示性数为零。

Theorem. A n-dimensional closed manifold M has a $C^{\infty}$  codimension one foliation if and only if χ(M)=0.

他的文章也发表在《Ann. of Math.》上:

W. Thurston, Existence of codimension-one foliations, Ann. of Math. (2) 104 (1976), no. 2, 249–268.

 此文一出,余文尽废!



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