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微分和积分的关系

已有 10805 次阅读 2011-4-23 17:38 |个人分类:数理|系统分类:教学心得

     学过高等数学的人,都知道一个说法:微分和积分互为逆运算。准确地讲,这句话说的是求导与不定积分的关系。用数学语言严格表达,就是:

命题:(i) f(x) 可积,则函数 F(x)=.large.int_{a}^{x}{f(t)dt} 可微且 F^.prime(x)=f(x)

    (ii)F(x)可微,则 F^.prime(x) 可积且 F(x)=.large.int_{a}^{x}{F^.prime (t)dt}(允许差一常数)。

     这个命题并不是无条件成立的。首先,函数f(x)可积时F(x)=.large.int_{a}^{x}{f(t)dt}不一定可微,见下边的例1。另一方面,当F(x)可微时,F^.prime(x) 也不一定可积,见下边的例2。

     例1. 在[-1, 1]上定义函数f(x)如下:

         

     例2. 在[-1, 1]上定义函数F(x)如下: 

        

     我们知道,数学中有很多种积分。前边提到的积分,是指Riemann积分。在Riemann积分范围内,微分与积分的关系只能在一定条件下是互为逆运算。

          Lebesgue积分出现之后,可积函数的范围扩大了。还有一个观念性的变化,就是不在乎零测度集,零测度集合上不成立的事可以忽略不计。 因此,例1中的 f(x)是可微函数。进一步可以证明,在几乎处处意义下,命题的(i)是对的。但(ii)还是不成立,因为例2中的 F^.prime(x)Lebesgue意义下也不可积。  

      问题的最终解决是在非绝对型积分出现之后。非绝对型积分以Henstock-Kurzweil积分为代表,另外的等价形式有Perron积分、 Denjoy积分等。在这类积分中,前边的命题在几乎处处意义下无条件成立。

      Henstock-Kurzweil积分产生于上世纪五十年代。有意思的是, Denjoy积分和Perron积分分别出现于1912、1914年,早于Lebesgue积分,但却没有Lebesgue积分知名(有果必有因,原因另文分析)。

 

(想试试公式编辑器,发现还是有点问题,例1和例2中的函数表达式写不出来,只能插入图片。)



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