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数学是严谨的吗?(2 逻辑是元凶)

已有 5506 次阅读 2013-12-11 23:27 |个人分类:基础数学-逻辑-物理|系统分类:科研笔记|关键词:数学,,,严谨,,严密,,危机,,,逻辑,,局限性,,,,哥德尔,,,,柴廷| 数学, 危机, 逻辑, 严谨, 严密

数学是严谨的吗?(2 逻辑是元凶)

 

    在现代科技中,数学的严密性应该是最好的了。可是,数学真的是严密的吗?


1 什么是严密性?

   真傻不知道!

     《苏联数学百科全书》的wiki版Proof词条说:http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Proof

A reasoning conducted according to certain rules in order to demonstrate some proposition (statement, theorem); it is based on initial statements (axioms). In practice, however, it may also be based on previously demonstrated propositions. Any proof is relative, since it is based on certain unprovable assumptions.

   其大意是说:证明是根据特定的规则论证某些命题的推理过程;它以一些初始命题(公理)为基础。可是实际上,它可以使用已经被证明的命题。所有的证明都是相对的,因为它建立在一些还没有被证明的假设之上。


   大逻辑学家K. Gödel说过:

   没有一个在特定分辨率层次上形成的知识系统,能够完全解释那个层次,必须具有一个高层元知识才能完全解释它。然而,当我们着手去构造这个更一般的元知识时,它也要求更高一层的元-元知识去解释它。


       Pierre de Fermat说:

The essential quality of proof is to compel belief.” 证明的本质是迫使别人相信。


   假如这些都是真的,则根本不存在“绝对严密”的证明。

   因为数学家的任务不是建立数学理论,而是做出证明。建立一个新的数学理论,大约只是数学系二年级大学生作业的水平。

 

2 怎样才能严密化?

   真傻不知道!

   目前的严密化,实际上是对“某些规则”的遵守,尽管这些“某些规则”同样需要证明。目前公认的“某些规则”,主要是逻辑:形式逻辑及其数学化。

   人们的确发现,一些简单的逻辑系统是完备的:能够证明它应该证明的。如1930年哥德尔的学位论文《逻辑函数演算的公理的完全性》解决了一阶谓词演算的完全性问题。这个结果使得希尔伯特的“形式化”方案得到有力的支持。

   好景不长。

    1930年秋在哥尼斯堡会议上,哥德尔宣布了第一不完全性定理:一个包括初等数论在内的形式系统,如果是协调的,那就是不完全的。不久之后他又宣布:如果初等算术系统是协调的,则协调性在算术系统内不可证明。这就是1931年正式发表的两个著名的哥德尔不完全性定理。

      作为对哥德尔第一不完全性定理的信息论形式的具体化,Chaitin在1966-1974发表了3个定理。柴廷定理大体上说:

   (1)如果樱桃、西红柿、茄子等比“洗菜盆”小,则可以在该盆里洗;

   (2)显然这个洗菜盆不能洗大冬瓜;但从樱桃、西红柿、茄子的个头越来越大的次序看,应该存在大冬瓜;

   (3)不幸的是,洗菜是两难之一:用小洗菜盆洗,则需要多次换水;用另外一个大洗菜盆洗,就可以少换几次水。

   之后有什么普遍性的进展吗?真傻期待您的指教!


3 将来该怎么办?

   真傻不知道!

   真傻以为,宇宙是无限复杂的。按着现有的数学观念,事物(集合)的复杂性可以分成

acfhib,……,

 0,1,2,3,4,5,……,  

等复杂性(详见1997年、1999年我们哲学研究的论文)。

   这是对两千多年前老子《道德经》“修观第五十四”中的观点:“故,以身观身,以家观家,以乡观乡,以国观国,以天下观天下,吾何以知天下之然哉?依此。”观点的现代化。老子在这里提出了一种“分层”和“相似”的认识方法论。现代集合论的“幂集公理”,是一种用来分层的方便方式(按照指数增长方式)。

   实际上,另一种可能的方式是“幂运算公理”,它对应“幂函数的增长方式”。并且“幂运算公理”蕴含“幂集公理”。

   这是对我国老一代逻辑学家王宪钧教授“按照某种原则给集合分层次”的思想启发。见《王浩. 数理逻辑通俗讲话. 北京:科学出版社,1981》。


   在我们的分层里,第0类(对应自然数)是完备的,因为现在能显式表示的逻辑是“可数”的。一旦进入“连续性”(第1类),就没有人类目前能够显式表示具体方式和它们建立一一对应的,即不能“规则化”了。进入“几何曲线”(第2类)复杂性,人类还没有认真考虑过这个复杂性层次的问题。人家Cantor好歹思考了一下,就被以导师克罗内克等主流数学家礼送到精神病院里死了。人类的进步是多大啊!这比当初毕达哥拉斯处理掉希帕索斯的方法文明多了!

 

   有没有不依赖复杂性的分层方法?

   现在还不知道!

   图灵的停机问题,实际上是一个“自指”问题:我死了吗?

   不用这么悲壮,“我睡着了吗?”无论是那个“我”,都不知道答案。因为该问题的信息量总是超过该系统的固有信息量的。无解!

   但的确存在一些深刻的“无信息量”运算。

   在“集合论”和“泛代数”里,对于包含“空集Φ”和“全集1”的集合,以及定义在其上的“对称减”和“交”(分别作为“加法”和“乘法”),可以构成一个环。这个环可以解释成各种具体的信息量。

   或许,这样的“无信息量”规则,是今后集合论的发展方向,除了沈有鼎教授的“包含矛盾的运算”之外。

   假如希尔伯特、哥德尔在世,他们会做些什么呢?

  

工欲善其事,必先利其器。

欢迎并感谢您的批评与指教!

   

成文仓促,感谢您的批评指正!请提供正确权威的参考文献!

   

相关链接:

[1] 胡作玄. 第三次数学危机. 成都:四川人民出版社,1985.

中国科普博览,http://www.kepu.net.cn/gb/basic/szsx/4/44/4_44_1001.htm

[2] 莫里斯•克莱因. 古今数学思想. 上海:上海科学技术出版社,1978.

[3] Encyclopedia of Mathematics(苏联数学百科全书)的wiki版:

http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Main_Page

[4] 中国大百科全书•数学,中国大百科全书出版社,1988.

[5] 邹晓辉2011-03-22,AAAS:《第二章 数学的性质 Chapter 2: THE NATURE OF MATHEMATICS》

http://bbs.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=94143&do=blog&id=425112

[6] mathematics,from the Encyclopædia Britannica

http://www.britannica.com/EBchecked/topic/369194/mathematics

[7] Mathematics,from the Encyclopedia of Mathematics

http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Mathematics

[8] 王浩. 数理逻辑通俗讲话. 北京:科学出版社,1981.

[9] 王宪钧. 数理逻辑引论. 北京:北京大学出版社,1982.

[10] 杨正瓴. 人脑有多复杂?百科知识,1997, 7(总第216期): 39 – 40.

[11] 杨正瓴,林孔元. 人类智能模拟的“第2类数学(智能数学)”方法的哲学研究. 哲学研究,1999, (4): 44–50.

[12] 张钹. 近十年人工智能的进展. 模式识别与人工智能,1995,8(增刊):1-9.

[13] Kurt Godel (Author), Solomon Feferman (Editor), John W. Dawson (Editor), Stephen C. Kleene (Editor), Gregory H. Moore (Editor), Robert M. Solovay (Editor), Jean van Heijenoort (Editor). Collected Works: Volume I: Publications 1929-1936. New York: Oxford University Press, 1986.

[14] Greenwood, 金国藩译. 科学前沿. 国际自然科学基金委员会,1993.

[15] K. Gödel. Ueber formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. Monatsh. Math. Physik, 1931, (38): 178-198.

[16] 杨正瓴. 第二类计算机构想 [J]. 中国电子科学研究院学报, 2011, 6(4): 368-374.

[17] 俗解Chaitin定理

http://bbs.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=107667&do=blog&id=478066

[18] 2009-11-12,《超级数学与21世纪》

http://bbs.sciencenet.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=78026

[19] 数学是严谨的吗?(1 历史事实)

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=107667&do=blog&id=747843

[20] 数学是严谨的吗?(3 一个形象的比喻)

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=107667&do=blog&id=749285



http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-749077.html

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