微观世界是奇特的，由于无法直接感知它，所以只能借助各种实验事实、客观现象，靠思维和数学去想象它、把握它。理解微观世界，有点像瞎子摸象，首先只能认识一些局部特征，而且这些认识往往还是表面的、初步的。要知道全貌、知道本质，必需要经过很长时间的积累和体会。“量子”是最早发现的，其基本特征主要是两个：1.在微观世界里，物理量可以或必须是不连续的；2.从细致本质的角度看，场物质可以或必须看成是一份一份的。虽然可以说，我们对“量子”现象基本上已一览无遗了，但我们对“量子”或“粒子”的本质，基本上还一无所知。爱因斯坦在临终前不久说过：“这50年的沉思，并没有使我更接近于什么是光量子这个问题的解决。” “量子”已经那么奇特，还有比“量子”更奇特的东西存在吗？那就是神秘的物质波。

   德布洛依提出物质波的概念后，薛定谔很快地在他的量子力学中定量地描述了“物质波”，“物质波”是超奇特地存在于复数空间中的！我们实空间的人是无法具体感觉到它的！但“物质波”是不可或缺的，因为是它导致了一个“粒子”也会出现了干涉衍射的行为；是它导致了一个受约束的粒子必然出现“量子化”的现象；是它导致了一对相互纠缠的粒子居然出现“隐形传态”的瞬间感应，…。“物质波”与我们宏观世界认为的波，本质上是完全不同的。或许我们比较极端地说，在实数空间里根本不存在“波”。水波，声波，只是一大群粒子有着一种特别的运动规范而已；光或电磁波也一样，也只是一大群“粒子”有着一种特别的运动规范而已。

这么奇特的波是怎么被发现、引入我们的视野的呢？我们知道，在经典物理学中一个被看作为质点的宏观物体的运动状态是用它的位置矢量和动量来描述的。但是对于微观粒子，由于它具有波动性，有干涉衍射现象，具有不确定关系，因此其位置和动量是不可能同时准确确定的,也就不可能像经典物理一样用位置、动量以及轨道这样一些概念来描述微观粒子的运动情况了。微观粒子具有波动性，在经典物理学中我们用波函数ψ(r, t)来描述一个经典波的运动状态，它表示在t时刻、在空间r处的某波动量的值为ψ(对弹性介质中的机械波而言，这个量为质点离开平衡位置的位移；对真空中的电磁波而言，这个量是该处的电场强度或磁场强度的值）。对微观粒子，薛定谔尝试着用一个波函数ψ=ψ(r,t)来描述微观粒子的运动状态，并且猜测波函数满足如下的微分方程: (ih/2p)dψ/dt=[-(h/2p)²Ñ²+V]ψ  即为著名的薛定谔方程。其中V粒子所处的势场，i是纯虚数，波函数是复数函数。如果V只是坐标的函数而不显含时间的话，就可将波函数写成坐标函数与时间函数的乘积，将薛定谔方程分离变量后得到定态薛定谔方程：[-(h/2p)²Ñ²+V]ψ=Eψ；其中常量E就是粒子的能量或称其为能量本征值。

原子中，由于电子所处势场只是坐标的函数，因此原子必定存在一些定态；氢原子是由一个质子与一个电子组成的最为简单的原子系统，在这个体系中，V=-ke²/r；薛定谔从微分方程中解出了氢原子量子化的的能量：E_n=(-13.6)/n²[eV]; n=1,2,3,…；这一结论与玻尔氢原子理论中的能级公式完全一致。从求解薛定谔方程的过程中还能得到：对于一定的主量子数n，氢原子中电子的角动量大小及其取向也是量子化的，其值分别取决于角量子数l，和磁量子数m_{l ;}三个具体的量子数n、l、m_l 确定的情况下，不但能完全确定氢原子中能量、角动量、及角动量取向的情况，而且还能确定此时氢原子所处的波函数的具体函数形式。薛定谔的工作远远优于玻尔的旧量子论，随着新理论的诞生，描写物质波的波函数也粉墨登场了。

物质波和波函数分别由德布洛依和薛定谔两人原创地引入的，他俩都苦苦寻思着波函数的意义。后来德国物理学家玻恩指出，波函数ψ(r,t)不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的概率波。根据波函数的统计意义，在得到定态波函数之后，就可以进一步具体讨论氢原子中电子在空间的概率分布，这一概率分布可以用空间中点的蔬密形象地表示出来，即形成了所谓的“电子云”。原子中电子具有一定的角动量，也具有一定的磁矩。可以证明磁矩与轨道角动量是线性关系的。另外我们知道，在非均匀磁场中一个磁矩（或载流线圈）除受到一个力矩作用外，还会受到一个磁力的作用。而且，该磁力的情况与磁矩相对磁场的方向有关。因为在原子中，角动量大小和取向是量子化的，所以磁矩大小和取向也是量子化的。这样，我们可以让一束原子通过一个非均匀磁场来观测其路径的分化情况，从而认证角动量的取向是否真的是量子化的。事实上早在1921年，施特恩(O.Stern)盖拉赫(W.Gerlach)就成功地进行了这样的实验，认证了角动量的取向是量子化的。

一个能解释实验事实的崭新理论确立了，但同时却带给物理学界极大的困惑。首先，一个微观粒子的状态波函数是客观的自然规律（薛定谔方程）的解，但波函数并不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布，它是概率波。可见，量子学不像经典科学观那样认为物质的运动从本质上说是可以精确确定的，微观粒子的行为却是统计决定的。上帝是掷骰子的吗？这一点，对包括爱因斯坦在内的大多数科学家来说，是万万不能接受的。但玻尔知道了玻恩对波函数的统计意后几乎欣喜若狂，他的哲学让他相信这样的微观世界才是和谐美妙的。

经典概念中的粒子，其运动规律遵从牛顿运动定律并具有确定的运动轨道；经典概念中的波，其实体弥散在整个空间并且存在着某个在空间波动的物理量。而微观粒子的波粒两象性，其粒子性表示微观粒子具有一定能量、动量和质量等粒子的属性，但事实显示，它不具有确定的运动轨道，运动规律不遵从牛顿运动定律；微观粒子的波动性表示微观粒子的运动状态要用波函数或态矢来描述，但它并不是某个实在物理量在空间的波动，而是一种能调控粒子出现在空间某处概率的波，并具有干涉、衍射等现象。由于概率波给出的是出现粒子的概率，它不要求破坏粒子的整体性，这样波粒二象性和谐共处了。另外，我们知道原子中电子绕原子核运动就像行星绕太阳运动一样，即使不考虑原子的稳定性问题，若按经典的精确确定的规律，每个电子的运动会与各自的初始条件密切相关，不可能出现电子状态完全一样的元素，若同一种元耊状态都不一样，那化合物就乱了，基因也无法遗传了，正是不确定的量子力学才确保了化学元素的一致性，使它无关历史，没有特殊，实现了同一和谐!

量子力学带来的困惑还有很多，再说物质波吧，它可以用一个弥散于整个空间，每一点都有一个复数值的波函数来描述，波函数摸方的意义知道了，但它本身就不存在别的意义了吗？答案必然是否定的。试想微观粒子出现“双缝干涉”的细节，微观粒子出现“量子化”的细节，微观粒子出现“隐形传态”的细节；算符作用于基态产生能量子的细节，等等，等等，似乎一切还深藏在在神秘的物质波中。