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张冠李戴之slater行列式 精选

已有 10643 次阅读 2015-2-22 21:58 |个人分类:物理|系统分类:科普集锦

有一段时间,我们研究一个费米子波函数的最佳slater逼近。按照揭泉林老师的观点,这个问题其实可以提供一个全同费米子系统的纠缠度的几何度量。

既然是研究slater行列式,就得追根溯源,细致考察其来龙去脉。结果发现,所谓slater determinant(行列式)其实最早是dirac给出的!早在1926年,紧随heisenburg和schrodinger之后,dirac就提出了这个行列式波函数作为全反对称系统的波函数。在这个文章里,dirac明确指出,如果电子的波函数服从全反对称条件的话,那么pauli不相容原理就成其一自然的推论。也就是在这个文章里,dirac提出了所谓的fermi-dirac分布。文章里,行列式明显可见:

那么这个行列式怎么最后用slater来命名呢?一般人们在提到slater行列式的时候,会引用他1929年在Phys.Rev.上的文章。这比dirac晚了足足三年!这三年可是量子力学爆发式发展的三年。今天任何一本量子力学教材上99%的结果都已经在那三年(可能更短)里被完成了!

这个行列式最终被命名为slater行列式,大概与slater用这个行列式干了一件很漂亮的事情有关。

这个事情牵涉到所谓的‘群祸’。

Wigner是我个人非常崇拜同时也非常喜欢的一个物理学家。他因为把群论引入量子力学而终于在1963年获奖。在1926schrodinger提出他的方程后,wigner便开始利用群论的知识给原子里的多电子波函数分类。按照stoner第一个指出的原子的壳层结构,在平均场下,电子是按照pauli不相容原理逐个填单电子轨道。每个轨道的能量依赖于其主量子数n和角动量量子数l,但是对磁量子数m是简并的。很显然,当壳层不满的时候,系统存在能量简并,也就是存在多种分布电子于不同磁量子数轨道的方案。不过,如果把电子间的相互作用(可以作为平均场之外的微扰)考虑进去的话,这种简并一般要分裂。问题就是,在一般的情况下,平均场下的能级会分裂成几条能级?每个能级的简并度如何?由于系统具有转动不变性,每个能级应该具有确定的总轨道角动量L和总自旋角动量S。所以问题归结为,哪些L和S会出现?他们怎么搭配?

这个问题在两个电子的情况下很简单。Heisenburg就干了。不需要任何群论知识。在今天的任何一本量子力学教材都有两电子波函数的分类。总的波函数是自旋波函数和轨道波函数的直积。自旋部分反对称则轨道部分对称,自旋部分对称则轨道部分反对称。heisenburg利用这个解释了为什么氦原子有两套独立的光谱。

但是,在有三个或者更多电子的情况下,问题就来了。第一,不存在全反对称的自旋波函数;第二,总的波函数不一定是简单的直积的形式,但是仍然可以全反对称。所以,在这种情况下,如何构造具有确定的L和S的全反对称的波函数就不是一件容易的事情了。wigner和von neumann都是数学天才,他们玩得动群论,所以他们的文章的路子是充分利用置换群的理论,选择适当的自旋波函数与适当的轨道波函数搭配,共同构建全反对称波函数。

这个路子是阳春白雪的路子。这里面的数学对物理学家要求太高了。要知道,在heisenburg那个时代,物理学家连矩阵都不熟悉,更不用说抽象代数了。事实上,即便在今天,我也没在我周围同事里发现懂置换群的人(谁要是懂,下次见面了教教我,请吃饭),倒是发现德国很多大学物理系根本没有群论这门课。当时的牛人Ehrenfest便造了group pest(群祸)这个词。他被wigner和von neumann的文章折磨得要死------他在第一页就不懂了!

所以当时的物理学家被群论这种触不可及的玩意搞得很郁闷。非得要用群论吗?最好能够找到一种为大家所熟悉的经典办法。

Slater就是提供了这个办法。在von neumann和wigner的办法里,他们的策略是bottom up, 也就是以具有确定的L的轨道波函数和具有确定的S的自旋波函数为零件,构造出一个全反对称波函数。Slater的策略是这样的,完全可以利用dirac的办法(很奇怪,他没引用dirac的文章,尽管他提到到了dirac,并且明确表示using determinant is not new),先构造一个全反对称波函数。这样波函数已经是全反对称的了,并且具有确定的Lz和Sz,只不过不具有确定的L和S。但是,注意到(Lz, Sz)的出现是有规律的。对每一个(L,S)存在(2L+1)*(2S+1)个(Lz, Sz),即 Lz = -L, ,,, +L, Sz = -S,,,, +S. 所以,从所有的(Lz, Sz)对里,我们可以反推出所有存在的(L,S)。具体的算法无非利用下极值原理,操作性极强,现在已经被写入很多原子物理的教材,比如杨福家的(在此感谢我本科的原子物理老师朱俊,感谢他具有启发性的教学)。

所以Slater就是提供了一个下里巴人,不需要群论的,fool-proof的解法。事实上,他的文章的摘要第一句话便是‘Atomic multiplets are treated by wave mechanics, without using group theory’.

Slater是个美国人,当时在哈佛工作。在美国,大家讲究实用主义。即便在欧洲,slater的解法也受到了对抽象代数极为陌生的物理学家们的欢迎。Slater从此一举成名。这大概是为什么本来最先由dirac写出的行列式最后被命名为slater行列的原因吧。



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