正面教材分享 http://blog.sciencenet.cn/u/wdlang 70%的以色列人是无神论者,不过他们都相信上帝给了他们那块土地。这个世界经不起思考

博文

你能定义什么是hilbert空间吗?

已有 15084 次阅读 2015-1-26 04:37 |个人分类:物理|系统分类:科普集锦

2006年的一天,舍友蔡子告诉我一个段子。他们组一个师兄到北京某高校找工作。那个学校的理科规模可能不是很大,所以数学系和物理系在一起,合起来算在理学院里。院长是个搞数学的。可能院长看他是学物理的,便问,你知道hilbert空间的定义吗?结果这个师兄答不上来,虽然搞量子力学的天天面对hilbert空间。

这个段子让我笑不起来,因为我也不知道什么是hilbert空间,尽管我跟那个师兄一样,头脑里对hilbert空间有个大概的印象。

事实上,我很清楚地记得在本科刚开始学量子力学的时候,教材上的hilbert空间的定义有一点让我特别困惑。为什么是平方可积?为什么指数恰恰是2,不是1,或者3,或者其他某个实数?为什么是波函数的平方代表几率分布?波函数的绝对值为什么就不能够代表几率分布,或者波函数的绝对值的四次方为什么就不能够代表几率分布?为什么偏偏是2?

类似的疑问其实更早在我学线性代数的时候就有了。为什么(倾向于)定义一个向量的模为各分量的平方和再取根号?

这些疑问直到好几年后我对泛函分析有了初步了解后才消失。确实,如果我们只想给每一个波函数定义一个模(norm,范数)的话,指数p完全可以是1,或者3,或者任何其他的大于等于1的实数。实际上,这就是所谓的勒贝格范数:

但是,问题是,对于一般的p,这样定义的范数并非来自于一个内积!因为这样的范数不满足平行四边形法则。一个内积可以诱导出一个范数,而反过来一个范数却不一定能够诱导出一个内积。内积涉及到两个向量,而范数只涉及到单个向量。只有有了内积,才有向量正交,正交投影等概念。对于一般的p,我们仅仅得到一个banach空间,在这个空间里两个向量是否正交没有任何意义。而只有当p=2,这个banach空间才能升格为一个hilbert空间,我们才能开始谈向量之间的内积,才有正交投影,才有测量几率。

当年,在schroedinger刚刚提出他的方程的时候,包括他本人在内,很多人都不明白波函数是否具有某种物理意义,还是仅仅只是计算能级的一个辅助工具。后来得了奖的rabi在当时是个研究生。他很快看懂了schroedinger的文章,并且仿照schroedinger的办法,通过解schroedinger方程计算了对称陀螺的能级。

http://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.29.262

但是, 他不明白波函数的物理意义。好在这点很快被born解决。born提出了他的波函数的几率解释------波函数的模方就是粒子出现的几率。不晓得born当初是否对取平方有过慎重的思考。不过,如果他的数学足够好,他应该有信心就是应该取平方,而不是波函数绝对值,或者其他。数学可以告诉他物理学的规律应该是什么样子。当然了,科学的发展从来都不是依照逻辑进行的。事实上,量子力学的数学基础(也就是泛函分析)并不比量子力学本身早出现。量子力学的出现恰恰大大促进了泛函分析的发展。von neumann对泛函分析贡献很大,而他的工作动机基本上都来自量子力学。

末了,hilbert空间的定义是:完备的内积空间。这里的完备性值得注意。曾经见一个马普所的group leader在一个给数学系物理系合开的mini-course里将完备性定义为,如果A,B属于空间,那么A+B属于空间。不知道数学系的学生是否感到诧异。



http://blog.sciencenet.cn/blog-100379-862766.html

上一篇:第一次在开放评审的期刊ScienceOpen上发表文章
下一篇:民科Strongart与民科潘宇

6 刘全慧 陈学雷 李轻舟 蒋迅 陈冬生 罗强

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (11 个评论)

数据加载中...
扫一扫,分享此博文

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2021-9-16 18:52

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部