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一点简单三角函数知识的物理意义

已有 1767 次阅读 2020-2-20 17:43 |个人分类:物理|系统分类:科普集锦

最近跟一个朋友谈到审稿意见的问题,我就说千万别把审稿人当大牛,很多时候审稿人的意见很白痴的。我给他举了一个我自己遇到的有点蠢的意见。有次有个审稿人说我们的数据可能有误。为什么呢?我们有两个量,姑且记为x和y,它们满足关系x^2 + y^2 = 1。然后审稿人说你看,你们有些数据在x显著非零时,y非常接近1。

可是这是完全合理的啊。作参数化,x=sin a, y=cos a。在a接近零时,x约为a,而y则约为1-a^2/2。所以x对0的偏离是a的一次方的量级,而y对1的偏离是a的平方的量级。

看看具体的例子,当x=0.1时,y=0.995;当x=0.2时,y=0.980。

关键是,sin函数在零附近是近似线性的,而cos函数在零取到极大值所以是近似抛物线的。这就意味着,在零附近,sin函数变化快,而cos函数变化慢。

这点简单的数学有不少实际意义。

最近大飞机(具体而言是飞机发动机)是个热门话题。记得arnold在某本书里曾有一个有关飞机发动机的习题是这样的。民航用飞机发动机是挂在机翼下面,为避免其排出的尾气对机尾造成不良影响,工程师考虑将发动机稍微偏置一点角度a,可是这样就会导致推力减少。但是这不构成问题,因为推力的损失是1-cos a,而尾气偏离位置是sin a,所以完全可以取一个合适的角a在避免尾气的问题的同时让推力的损失不大。


再比如,中午的太阳非常刺眼,而早晨和傍晚的太阳则很柔和可以直视。这背后的原因也在上面的数学事实。图一展示的是地球和其大气层。中午时候,太阳光在大气层中走过的路径是BC,正比于1-cos \theta; 清晨和傍晚时候,阳光在大气层中走过的路径是AB,正比于sin \theta。地球半径远远大于大气层的厚度,所以角theta很小,按照上面的近似,中午时候阳光走过的路径比朝夕时候阳光走过的路径小一个量级。事实上,如果取地球半径为6400公里,大气层厚度100公里,那么AB/BC约为根号下128,即大于11。如果取指数衰减率,这11倍的路径差距导致的强度差距可能非常可观。

由于同样的原因,你会发现,在削苹果时,尽管苹果皮很薄,截面却很大。

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还有一个例子是博主最近打台球遇到的。有不少学生打球神准,但是他们一般都避免打大角度的削球,理由是削球非常难打。这本质也是上面的简单数学。我们用图2展示削薄球时的情况。两个同心圆半径比为1比2,圆心O表示目标球的中心,外面的大圆自然表示白球的球心C可能到达的地方。假设我们想让目标球沿AO方向运动,也就是我们想把白球球心C推到A点。这里的难点就在于,我们需要非常精确地控制击球方向,因为角TCA的微小变化都会造成角TOA的巨大变化。定量上来讲,如果记角TOA为theta,角TCA为phi,那么在theta比较小时,phi大概正比于theta的平方,正如在a比较小时,1-cos a大概正比于sin a的平方。这一定量关系的一个后果是,为了让目标球进洞,我们对theta允许的误差转化到对phi允许的误差就非常小。

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高手们都是尽量通过走位,使得白球,目标球和洞口接近直线,这时phi对theta近似线性变化,我们击球时对phi的误差要求也就比较宽松。




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2 杨正瓴 苏保霞

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