无限深方势阱是量子力学里最简单的模型，据说是Mott提出的。

这么简单的模型，一般人可能认为没什么是他们不了解的。

可是最近，我的研究生在摆弄这个模型时，却发现一个意外的现象。最开始，我们是考虑一些不那么光滑的初始波函数的自相关函数。比如下面的三个函数

psi1和psi2明显不光滑。

因为其不光滑，所以其自相关函数也不光滑，特别的，psi1的自相关函数是riemann函数（不是riemann zeta函数！），

其处处连续但是几乎处处不可微。

自相关函数仅仅是个内积，并不充分揭示随时间演化后波函数的性状。于是，博主便让研究生看看波函数怎么演化。结果，他告诉我，在时间t是pi的有理倍数时，波函数表现出明显的规律。

下图是psi1在若干时刻的图像，实线是实部，虚线是虚部。

初始波函数的特征依然存在！

面对这些图像，博主颇为困惑了一段时间，不过最终博主想起若干年前见过的一篇讲无限深方势阱中波函数的fractional revival的PRA文章，作者之一是原子分子物理领域知名学者stroud。赶紧找出来一看，马上明白了，这个现象他们的文章解释得很清楚。

stroud.pdf

就是个fractional revival现象，在t为pi的有理倍数时，波函数是原波函数及其若干平移的叠加！下面是他们的文章里的图

其实他们的文章我早见过，但是当时只是快速浏览了一眼，也没产生太大兴趣。只有当自己迎头撞上类似的现象时，才会体会到其中的非平庸之处。

道理说穿了很简单，就是在t是pi的有理倍数时，时间演化因子exp（-i n^2 t）是n的周期函数。可以也需要对其作傅里叶分解，做完这个傅里叶分解一切都清晰了。但是这个分解并不那么平庸，需要用到数论里二次剩余的知识。这也提供了一个让人学习二次剩余的动机。

简单的体系，但是一样有意想不到的物理。可见无论做人还是做物理，都不要有偏见，因为偏见反映的是愚蠢。