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按经典逻辑,"所有乌鸦是黑的"(A->B)和"不是黑的就不是乌鸦”(非B->非A)等价。
一只粉笔或一个苹果支持“不是黑的就不是乌鸦”,所以也支持"所有乌鸦是黑的"(A->B)。
但是按常识, 两者不相关。
解决悖论办法, 一是肯定不想关, 否定等价关系;
二是肯定有相关性(看来不相关是因为非白的太多), 肯定有微弱确证——如亨普尔自己解释。
这些解释都没有数字表达,不严格;也不太容易说服对方。
我的严格数字结论(来自语义信息论公式,和Shannon信息论兼容,推导过程晚点提供):
“所有乌鸦是黑的”确证度:
该公式也可以计算“所有天鹅是白的”的确证度,则这时n11表示白天鹅数,n10是非白天鹅(反例)数,n00是非白非天鹅数;n10是白色非天鹅数。
根据这个公式,在模糊推理情况下,“A->B”和“非B->非A”的确证度(所有下标0和1互换)不等价。
但是,当反例n10是0 的时候,n00或其增量不影响确证度(为1). 两者等价。
把“所有乌鸦是黑的”换成“所有天鹅是白的”,反例数不是0了,这时就可以看出上面结论也适合模糊推理——比如“所有天鹅是白的”,“HIV检测显示+的人有艾滋病”,“甘油三酯高的人有脂肪肝”,这些假设确证度在0和1之间。
当反例n10大于0的时候, db*/dn00随n00和n10增大而减小。 这意味, 论域中白色物体多, 黑色越少,dn00对b*的影响就越小。 反之越大。
比如四类物体是 黑白天鹅和黑白乌鸦。四种鸟的数目是n00, n10, n01, n11。
当白鸟很少, 比如是n00=1, n10=1,n11=1, n01=10(黑天鹅很多),确证度增量db*就较大,
db*/dn00=11/4
如果n00=10, n01=1, 则db*/dn00=2/121, 确证度增量很小。
为什么我们认为粉笔和“所有乌鸦是黑的”不相关? 因为
1)没见过不黑的乌鸦; 如果换成“所有天鹅是白的”--有反例, 情况就不同;
2)论域中白色太多, 即n00和n01较大时,增加一个白色物体对确证度的影响微不足道。
西方各种确证度公式问题太多。他们混淆了逻辑概率(不是归一化的,最大值是1)和统计概率(归一化 );混淆了命题真值(越大越好)和逻辑概率(越小越好);混淆了可信度(主观的)和确证度(相对的),混淆了确证度(用正反例条件概率分布或最大似然度证明)和确证度增量(单个例子可以提供)。
我将在以后的文章中详述。
详细讨论见: http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=2056&do=blog&id=1017037
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