那些随机变量的倒数的概率密度分布函数与原变量同类？！

张学文，2015/12/2

一个随机变量的概率密度如果是正态分布，那么这个变量的倒数的概率分布也是正态吗？我现在的回答是：不是。

如果该随机变量的原概率分布符合幂律呢？我的回答是：是的。即该随机变量的倒数的概率分布依然符合幂律！

以上就是我最近的觉悟（不是动手推算！）。

我最近形成这个认识是基于：

1.        在分析气象学中的降水量、水汽压力的比值问题时，注意到它和它的倒数都具有明确的物理意义。

2.        在分析到这个比值的概率分布问题时，感到我遇到了变量与变量的倒数的概率分布存在什么关系的问题。

3.        在网友提示下回忆到变量的函数的概率分布问题在概率论中是早有介绍的知识：其概率分布是原分布函数再乘以该变量的微商，而互为倒数就是函数关系的一个特例。于是本问题是函数的概率分布问题的特例。

4.        x的倒数就是1/x，其微商应当是1/x²,所以原变量的概率分布函数乘以1/x²，就是其原变量的倒数的概率密度函数了！

5.        这样，随机变量的倒数的分布函数问题就全部明确了。

6.        而当原分布函数中本来就含有变量的幂的情况时，新变量的概率分布函数仅是改变了幂的次数，而没有改变函数的类型。

7.        我浏览概率分布表，注意到，概率密度是幂函数（所谓幂律），是对数正态，是韦伯分布，是（？）分布时都含有幂函数部分，所以随机变量的概率密度函数在其变量变成为它的倒数时的概率分布函数依然是原类型的分布（自然参数可以有变化）。

以上就是我的考虑与认识过程，这对吗？

那些随机变量的倒数的概率密度分布函数与原变量同类？！前面第7条就是我认为的答案，它们可能不对、不全，欢迎补充和批判。

这么考虑有问题吗？欢迎指正！