对任何一个学科来说，研究其历史都是非常重要的。而对于数学这一学科尤为重要，这是数学学科自身的特征决定的。

为什么要学习数学史

这个问题可谓前人之述备矣。但在这里我们还是要把一些要点说出来，以给学生们启发。

英国哲学家里德(T．Reid，1710—1796)说：

“  数学系统一旦在少数公理和原始定义的基础上完美地建立起来，就构成了一个坚如磐石的基础。然后年复一年地发展和成长，最终形成一种能为人类理性所引以为自豪的坚固结构。”

这就提醒我们这样一个事实：数学思想的起源与传播有其自身规律，相对其他学科来讲有更强的连续性。数学理论体系从未发生推倒重来的情况，数学发展史上的每一次突破都奠基于前人成果的基础之上。因而，温故知新成为数学传播研究的必由之路。注意一下就会发现：数学是建立在公理的基础上的，而其他科学是建立在假说的基础上的。这才导致数学拥有与其他科学不同的特征，数学史的研究也显得十分重要了。数学的实质在于有一套提出问题和解决问题的普遍理论和方法。相对数学而言，科学的证明依赖于观察、实验数据和理解力；数学的证明是依靠严密的逻辑推理。而在思维严密的数学家眼里，物理学、化学、生物学、天文学等自然科学都是经验科学，难以达到数学定理证明所具有的绝对程度，只能提出近似于真理的概念。

数学不仅是自然科学的“王后”，同时也是自然科学的“仆人”，一直忠实地服务于其他科学。这完全是缘于她的能力。因为过去的经验告诉我们，所有的科学问题在本质上都是简单而有序的。物理学所有的定理都可以用数学公式表示出来。人类的智慧坚持用简单的概念阐明科学的基本问题，数学就是一个基本的方法。

数学是历史积淀的产物，只有了解数学史才有利于对数学作整体的把握。数学史研究的是历史上的数学，探讨其产生和发展的原因、规律，以及受其他社会因素影响的数学问题；还要研究数学在萌芽、形成和发展过程中起主导作用的基本思想及其传播和继承的规律。不仅涉及过去的和现在的数学，还探讨未来数学的发展趋势与特点，以指引当前数学科学的走向，为现代数学研究和数学教育服务。

数学在其发展过程中，在解决诸如不变与变，有限与无限，部分与整体，具体与抽象，离散与连续，确定与随机，精确与近似等矛盾的过程中，形成了特色鲜明的科学思想和方法。

除了少数专业数学工作者研究纯数学，大多数数学家或科技工作者从事的是应用数学的研究。应用数学是利用数学的方法来发展经验科学的学科。应用数学始于经验性事实，止于对经验性事实进行规律性预测，这些规律还必须被其他的实验数据所证实。从研究过程可以看出应用数学的真谛：从自然现象出发，回到自然现象。因此，用数学理论来发展经验科学往往又会向数学提出深刻的挑战，并启示纯数学研究的新方向。

关于数学历史与创新的关系，吴文俊院士有深刻的论述，他说：

“  假如你对数学的历史发展，对一个领域的发生和发展，对一个理论的兴旺和衰落，对一个概念的来龙去脉，对一种重要思想的产生和影响等这许多历史因素都弄清了，我想，对数学就会了解得更多，对数学的现状就会知道得更清楚、更深刻，还可以对数学的未来起一种指导作用，也就是说，可以知道数学究竟应该按怎样的方向发展可以收到最大的效益。”

近代应用数学发端于英国，牛顿是其鼻祖。为了解释观察到的大量天体运行的资料，解释天体运行的基本规律，牛顿建立起天体运行的数学模型，提出了划时代的三大力学定律和万有引力定律。但是，力学定律的内涵超越了那个时代传统数学的范围，牛顿不得不开拓新的领域，发明了微积分，然后再用微积分、力学定律和万有引力，求得了行星运行的规律。在19世纪末的英国，所有的理论物理被称为应用数学。人们运用“概括法”从一个复杂的物理过程中概括出关键的物理因素，然后再用数学进行分析。

学习数学史要达到的几个目的

李文林先生说过，研究数学史通常有三种态度：为历史而历史，为数学而历史，为教育而历史。

对于我们从事高等教育的人来说，当然免不了要把数学史的研究和学习与教育联系起来。我们想达到的目的当然很多，但其中的几个需要特别提出。

1.对数学抽象性的认识

抽象是数学的特点，也经常成为学习的难点。在此，让学生们认识到抽象的基本过程和抽象的作用是必要的。抽象不仅是高度的概括和提炼，而且越抽象的东西应用范围也越广。

数学史上最早也是最重要之一的抽象是正整数的出现。数学问题本来就源于“实在的”而不是抽象的问题。早期的数值十分具体，而不像今天的数据那么“抽象”。

因此，从5匹马到5个“东西”再到“5”便成就了数学史上巨大的精神飞跃。

接下来就是另一个“飞跃”。正整数的出现自然驱使人们去研究它的运算规律。如果单纯探讨2+3=3+2, 5+8=8+5等等的具体结果就会陷入无休止的罗列中。人们巧妙地引入了符号：

a+b=b+a

这里a、b可以代表任意正整数。

随着符号的引入，数学进入了从“数”到“类”的飞跃，从而从算术阶段进入了代数阶段。

相信学生们在此会“顿悟”的，也许学习过程中从来没有人给他们点透过。就好像学生在应试过程中做了无数的对数题目，却没有意识到对数运算法则的实质——降低运算级别:

“  …by shortening the labours, doubled the life of the astronomer。

(以缩短计算时间使天文学家寿命加倍）

——Pierre-Simon Laplace

2.对世界各个文明所做贡献的客观认识

在公元前2000年，古巴比伦数学的发展就已经开始。而他们对勾股定理（毕达哥拉斯定理）的研究在至少公元前1700年就已经取得了惊人的成就。出土的泥板中有大量的数学文献，包括15组勾股数。其中最大的一组勾股数按照现代的计数方法，斜边是18541，一条直角边是12709。

事实上数学史上有四个伟大时代：古巴比伦时代、古希腊时代、牛顿时代以及始于19世纪初直至现在的黄金时代。

3.了解中西方数学思维的差异

中国人擅长计算，而古希腊人擅长逻辑推理。泰勒斯(Thales, 约公元前624—前547)开逻辑证明之先河：他不满足于人们看到的一个圆被其任一直径分割为相同的两部分，还要想办法“证明”它们是相等的。他认为靠直观观察毕竟是有限的，系统的证明才更加可靠和长久。

4.了解前人的奋斗历史和治学精神

这也是“为教育而历史”的目的之一——就是要通过选择生动、丰富、典型的历史事件或史实，并用恰当方式展现在课堂或课程中，让学生切实“了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神”。

惠威尔（W．Whewell）在《归纳科学史》中写道：

“  除了顽强的毅力和失眠的习惯，牛顿不承认自己与常人有什么区别。当有人问他是怎样做出自己的科学发现时，他的回答是：‘老是想着它们’。另一次他宣称：如果他在科学上做了一点事情，那完全归功于他的勤奋与耐心思考，心里总是装着研究的问题，等待那最初的一线希望渐渐变成普照一切的光明。”

希尔伯特在1930年退休时被柯尼斯堡授予荣誉市民称号。他发表了演说，并以著名的六个字作为结束，以表达他对数学的热爱以及奉献于数学的一生：

We must know, we shall know！

5.了解数学的发展过程和教材、专著的差别

数学论文和专著一般都是经过“包装”的，也就是说，是按逻辑顺序从定义到性质、定理等等组织内容、精心撰写的。那些数学真理、数学定理又是怎样被发现的？往往很少涉及，或语焉不详。而对于学习、研究和应用数学的人来说，这一点又恰恰至关重要。而且常常书籍之中展现的结果刚好跟实际演变过程相反，自然导致学生在学习中感到困难，这就需要我们教师给予点拨。

对于数学史及数学思想的灌输，我们首先应该认识到它的重要性，应该传授给学生以思想和方法。可以说数学思想和方法比数学计算更重要。当然这就对教师提出了更高的要求。

作者：李晓奇，东北大学秦皇岛分校数学与统计学院教授，主要研究方向为数学史。

本文由刘四旦摘编自吕变庭主编《科学史研究论丛 第1辑》一书中，李晓奇《对数学史及数学思想的认识及教学实践》一文。标题为编者所加，有删减。

ISBN号：978-7-03-045827-8

《科学史研究论丛》是河北省科技史学会会刊。2006年国家最高科学技术奖获得者李振声先生为会刊题写刊名，并为之题词：“科学之道贯古今，跨越发展在创新。”《科学史研究论丛》创办的宗旨，不仅要把“科学之道”发扬光大，而且还有高举“创新”旗帜，办出特色，逐渐提高其在学界的认可度和影响力。

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